4.Сущность средних величин. Определяющий показатель средней.

Формы и виды средних величин

Каждая однородная статистическая совокупность состоит из массы отдельных единиц, которые обладают индивидуальными особенностями и поэтому отличаются друг от друга по размеру количественных признаков. Так, студенты отличаются друг от друга возрастом, размером получаемой стипендии и т.д. Для получения обобщенной характеристики большого количества индивидуальных значений варьирующего признака в таких совокупностях рассчитываются средние величины.

Под средней величиной в статистике понимают обобщающий показатель, характеризующий типичный размер варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности, то есть средняя - это величина, которая одним значением характеризует нечто общее для совокупности в целом (средний возраст, средний размер стипендии и т.д.).

Средняя в статистике:

- характеризует типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности;

- отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности;

- взаимно погашает различия, которые наблюдаются у отдельных единиц, вызванные второстепенными случайными факторами.

Средние величины могут быть исчислены по непосредственному перечню значений признака у каждой единицы совокупности (по первичным, несгруппированным данным ). Такие средние называются простыми, или невзвешенными. Если средние вычисляются по вариационному ряду ( по вторичным, сгруппированным данным ) с учетом статистического веса каждого варианта (числа повторений вариантов - ), то их называют взвешенными средними.

Разнообразие изучаемых статистикой массовых явлений и процессов требует использования различного вида средних величин. Наиболее употребительными являются: суммальные и структурные ( порядковые ). Суммальные средние подразделяются на степенные, логарифмические, показательные, параболические и т.д. При этом степенные средние, в свою очередь, подразделяются на средние арифметические, средние гармонические, средние квадратические, средние кубические и др. Структурные средние - это мода, медиана, квартили, децили и др.

Степенная средняя - общая форма представления различных средних величин имеет следующий вид:

- для отдельных вариантов признака (несгруппированных данных, т.е. для ряда чисел ):

( простая ) ;

- для вариационных рядов ( для сгруппированных данных) при наличии соответствующих весов :

( взвешенная ),

где - степенная средняя;

- варианты осредняемого признака;

m - показатель степени, определяющий вид средней;

n - число вариант;

- веса ( частоты ).

Изменение значения показателя степени средней (m) определяет вид средней величины.

Средняя арифметическая (m =1) - сумма значений варьирующего признака, разделенная на их число:

(простая)

(взвешенная)

Средняя гармоническая (m = -1) - обратное значение средней из обратных значений варьирующего признака, т.е. из вариантов :

(простая)

(взвешенная)

( )

Средняя геометрическая (m =0) - корень степени числа из их произведения:

(простая)

(взвешенная)

( - знак произведения )

Средняя квадратическая (m =2) - корень квадратный из средней квадратов вариантов:

(простая)

(взвешенная)

Разные виды средних величин при использовании одних и тех же исходных данных имеют неодинаковое значение. Чем больше показатель степени (m) в формуле степенной средней, тем больше величина средней:

  

Такое соотношение средних величин называется правилом мажорантности.

Форма средней в статистике подчинена социально-экономическому содержанию изучаемых явлений и обусловлена существующими между ними объективными взаимосвязями. Выражением взаимосвязей явлений и их признаков являются взаимосвязи характеризующих их статистических показателей. Так как средняя величина характеризует уровень признака в расчете на единицу совокупности, то взаимосвязь между средней и показателями, от которых она непосредственно зависит, как правило, может быть выражена в виде кратного отношения двух итоговых показателей суммарного, объемного характера. В простейших, наиболее часто встречающихся случаях числитель такого отношения представляет собой общую сумму значений осредняемого признака у всех единиц совокупности, т.е. общий объем признака, а знаменатель - общее число единиц совокупности, в расчете на каждую из которых вычисляется средняя. Например, среднее число детей на одну семью определяется как отношение общего числа детей во всех семьях к числу семей:

Среднее число детей Общее число детей во всех семьях

на одну семью = ---------------------------------------------------

Число семей

Средняя цена Общая стоимость проданных товаров

единицы товара = ---------------------------------------------------- и т.д.

Количество товара

Подобного рода соотношения, выражающие смысл средних величин и их зависимость от других показателей, называется исходной базой расчета и является критерием правильности выбора формы средней.

Любая средняя должна вычисляться так, чтобы при замене ее каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Например, если число детей в отдельных семьях заменить средним числом детей, то не должно измениться общее число детей по совокупности.

Форма (формула) средней определяется характером (механизмом) взаимосвязи итого показателя с осредняемым. Поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем.