Вариант 1

1. Найти от следующих функций:

а) ; б) y = x² sin x + 2x cos² x – 2sin x; в) y = sin 2x ctg - cos²x;

г) ; д) y = 3x² ln x – x³; е) y = (x² + 2x + 2)³ e ^{–2 x}; ж) y = (cos x)^{sin x};

з) y = ; и) ; к) x – y = arcsin x – arcsin y; л) x⁴ + y ⁴ = x²y²;

м) log₂(x + y) = x y; н) ; о)

2. Найти от следующих функций:

а) ; б) 3; в) e^y+xy=e; г)

3. Найти уравнение касательной к кривой у = 2 - 4х – 3х² в точке с абсциссой х = -2.

4. По оси Ох движутся точки, имеющие законы движения и , t > 0. С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в момент встречи? (х измеряется в сантиметрах, t – в секундах)

5. Найти дифференциал функции

, x > 0.

6. Вычислить приближённо:

а) при х = 0,1; б) tg 4530.

7. Найти пределы:

а) б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) .

8. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) у = 2 х ³ + 3 х ² - 1; б) ; в) .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

[0; 3].

Вариант 2

1. Найти от следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) y=(sin x)^{cos x}; з) y = (1 + x) ^{ln x} ; и) ; к) x² – х y + у² = 1; л) у² cos x = a² sin 3y; м) ; н) ; о)

2. Найти от следующих функций:

а) ; б) y = (1 + x²)  arctgx; в) x + y = sin² y; г)

3. В какой точке касательная к параболе у = х² + 4х параллельна оси Ох? Написать уравнения касательной и нормали в этой точке.

4. Тело, массой 3 кг движется прямолинейно по закону s = 1 + t + t ² (s – в метрах, t – в секундах). Определить кинетическую энергию тела через 5 с после начала движения.

5. Найти дифференциал функции

y = tg , x > 0.

6. Вычислить приближённо:

а) ; б) arctg 0.98.

7. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) .

8. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) у = х ⁴ – 10 х ² + 9; б) ; в) y = sin x + cos x.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [1; 4].

Вариант 3

1. Найти от следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) y = arctg² ;

д) y = x(sin ln x – cos ln x); е) y = 5 ^{cos x}  sin x; ж) y = (х ² + 1)^{sin x}; з) y = ;

и) ; к) tg y = xy; л) arctg ; м) sin y ² = x ² y;

н) ; о)

2. Найти от следующих функций:

а) ; б) y = (arccos x) ²; в) ; г)

3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке с координатами (2; 3).

4. Тело движется по прямой Ох по закону x(t)=t²-4t+1. Определить скорость и ускорение движения в произвольный момент времени. В какой момент времени тело меняет направление движения? (х измеряется в сантиметрах, t – в секундах)

5. Найти дифференциал функции

.

6. Вычислить приближённо:

а) при х=0,03; б) sin 89.

7. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

8. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) у = 0,5 х ⁴ – 4 х ²; б) ; в) y = x – ln (1 + x).

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [0; 6].