Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
Определение.
Дифференциальное
уравнение
го
порядка называется линейным, если оно
первой степени относительно искомой
функции
и её производных
и имеет вид
,
где
и
- заданные функции от
или постоянные.
Если
то уравнение называется неоднородным,
если же
то
уравнение называется линейным однородным
уравнением.
Определим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь уравнениями второго порядка:
Если
и
- два частных решения линейного
однородного уравнения второго порядка
то
есть также решение этого уравнения.Если есть решение уравнения
и
постоянная,
то
есть также решение этого уравнения.
Определение.
Два
решения уравнения
и
называются линейно независимыми на
отрезке
,
если их отношение на этом отрезке не
является постоянным, т.е. если
.
Определение:
Если
и
функции от
,
то определитель
называется определителем Вронского.
Если , то
.Если и - два линейно независимых решения уравнения , то
есть его общее решение, где
произвольные
постоянные.
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть дано однородное уравнение второго порядка
,
(1)
где
и
- постоянные числа.
Согласно свойству (4) для определения общего решения уравнения надо найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде
,
где
.
Тогда
.
Подставим полученные выражения в данное уравнение
,
откуда,
т.к.
,
(2)
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Решение уравнения (2) имеет вид:
Возможны следующие случаи:
и
-
действительные и притом не равные между
собой;и - действительные и притом равные между собой;
и - комплексные числа.
Рассмотрим каждый случай отдельно:
В
этом случае
,
причём
т.к.
,
следовательно, общее решение по свойству
(4) имеет вид
Одно
частное решение можно искать в виде
,
но второе уже искать в таком же виде
нельзя, т.к. они окажутся линейно
зависимыми. Второе частное решение
будем искать в виде
,
где
.
Тогда
и
.
Подставим значения
в
уравнение (1):
.
Т.к.
корень
характеристического уравнения, то
,
кроме того
,
т.к. корни равны между собой. Следовательно,
,
откуда
.
Решая последнее уравнение получим
.
Полагая
получим
.
Следовательно, второе частное решение
можно искать в виде
.
Заметим, что
.
По свойству (4) имеем
,
т.е.
В
этом случае
.
.
Следовательно,
.
Обозначим
и
,
тогда
по свойству (4) общее решение:
Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное уравнение го порядка:
Для этого уравнения справедлива следующая теорема:
Если
функции
являются линейно независимыми решениями
данного уравнения, то его общее решение
суть
где
произвольные
постоянные.
Если коэффициенты данного уравнения постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка:
Составляем характеристическое уравнение
Находим корни характеристического уравнения
По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:
каждому действительному однократному корню соответствует частное решение
каждой паре комплексных сопряжённых однократных корней
соответствуют два частных решения
и
каждому действительному корню кратности
соответствует
линейно независимых частных решений
каждой паре комплексных сопряжённых корней кратности
соответствуют
частных решений
4. Найдя линейно независимых частных решений , строим общее решение данного линейного уравнения
Описанные выше шаги можно объединить в таблицу:
Характер корня
характеристического Частные решения уравнения
уравнения
1. простой
вещественный
корень
2. вещественный
корень
кратности
3.
простые
комплексные
сопряжённые корни
4. комплексные
сопряжённые корни
кратности
