Замена переменной в определенном интеграле

Для вычисления многих определенных интегралов полезно заменять переменную интегрирования. При этом, если определенный интеграл преобразуется при помощи подстановки в другой интеграл, с новой переменной интегрирования , то старые пределы необходимо заменить новыми пределами , которые определяются из исходной подстановки, т.е. из уравнений . Если непрерывна на отрезке , то

.

Приложение определенного интеграла

1. Площади плоских фигур

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках и и отрезком оси абсцисс (рис.1), определяется формулой

В общем случае, если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми и и двумя вертикалями и , где при (рис.2), то будем иметь:

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими и , и отрезком оси , выражается интегралом

,

где и определяются из уравнений и на отрезке .

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора (рис.3), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами и , соответствующими значениям и , выразится интегралом

2. Длина дуги кривой

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , то длина дуги, содержащейся между двумя точками с абсциссами и , равна

.

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , то длина дуги кривой равна

,

где и - значения параметра, соответствующие концам дуги.

Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги равна

,

где и - значения полярного угла в крайних точках дуги.

3. Объем тела

Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя вертикалями и , вокруг осей и Выражается соответственно формулами:

1) ; 2)

Несобственные интегралы Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция определена и непрерывна при всех значениях таких, что . Рассмотрим интеграл . Этот интеграл имеет смысл при любом . При изменении интеграл изменяется. Рассмотрим вопрос о поведении этого интеграла при .

Определение. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции на интервале и обозначается .

Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если при не имеет конечного предела, то говорят, что не существует или расходится.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

,

.

Последнее равенство следует понимать так: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует, по определению, и интеграл, стоящий слева.