Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

_{Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:}

.

Будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих коней. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

_{где многочлен, а правильная дробь.}

_{Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.}

_{Определение. Правильные рациональные дроби вида:}

1. 

2. 

3. 

4. _{называются простейшими дробями типов.}

_{Проведем интегрирование простейших дробей:}

1. 

2. 

3. 

4. 

_;

_{Отдельно покажем вычисление .}

_.

_{В правой части содержится интеграл того же типа, что , с той лишь разницей, что показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ; таким образом, мы выразили через . Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:}

_{Подставляя затем всюду вместо и значения, получим выражение интеграла через и заданные числа А, В, p, q.}

Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей Интегрирование рациональных дробей

Разложим многочлен , стоящий в знаменателе в произведение. Как известно из алгебры, всякий многочлен имеет по крайней мере один корень, действительный или мнимый (теорема Гаусса); обозначим этот корень через . Тогда, по теореме Безу, будет делиться без остатка на разность , т.е. , где многочлен степени . Продолжая эти процедуры так и далее получим разложение в произведение:

Разложение показывает, что числа являются корнями многочлена и что, следовательно, многочлен ой степени не может иметь более чем различных корней, поскольку среди чисел могут быть и повторяющиеся. Если объединить множители, соответствующие повторяющимся корням, то разложение примет вид:

,

где попарно различные корни многочлена .

Показатели степени называются кратностями корней . Легко видеть, что .

Определение 1. Число называется кратным корнем многочлена , если делится без остатка на , но не делится на .

Выберем среди всех попарно различных корней многочлена действительные; пусть это будут корни с кратностями . Тогда разложению можно придать следующий вид:

,

где многочлен с действительными коэффициентами степени , имеющий лишь комплексные корни.

Будем искать разложение многочлена на действительные множители, опираясь на следующую теорему:

Теорема. Комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами встречаются только сопряженными парами, причем сопряженные корни имеют одинаковую кратность.

Согласно этой теореме, в разложение сопряженные сомножители и входят в одинаковых степенях: . Используя это, перемножим эти двучлены, полагая

,

где есть квадратный трехчлен с действительными коэффициентами, имеющий мнимые корни. Проводя такую же операцию и со всеми остальными парами сопряженных сомножителей в разложении , мы получаем разложение на действительные множители: .

Теперь, на основании равенства , получим разложение многочлена на действительные множители:

где коэффициент при старшей степени в многочлене , двучлены соответствуют действительным корням многочлена , имеющим кратности , а трехчлены соответствуют парам сопряженных комплексных корней кратностей .

_{Приведем без доказательства теорему алгебры о разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.}

_{Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена, и притом единственным способом, в виде суммы конечного числа простейших дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби в произведение действительных сомножителей:}

Неопределенные коэффициенты, стоящие в числителях простейших дробей разложения, находятся следующим образом. Приводим правую часть к общему знаменателю и обозначим приведенный числитель через : отбрасываем знаменатель как в левой, так и в правой части равенства, после чего получается тождество двух многочленов , где известный многочлен, а многочлен содержит неопределенные коэффициенты. Приравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества , получим достаточное число совместных уравнений, линейных относительно неопределенных коэффициентов, откуда и найдем их числовые значения.

В дальнейшем интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей типов.