Неоднородные линейные уравнения высших порядков

Пусть дано неоднородное линейное уравнение

(1)

где непрерывные функции от или постоянные числа. Пусть нам известно общее решение

(2)

соответствующего однородного уравнения

(3)

Для уравнения (1) справедливо утверждение: «Если общее решение однородного уравнения (3), а частное решение неоднородного уравнения (1), то есть общее решение неоднородного уравнения».

Как и в случае уравнения второго порядка, частное решение уравнения (1) можно находить по способу вариации произвольных постоянных, считая в выражении (2) функциями от .

(4)

В случае неоднородного уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами частные решения иногда находятся проще, а именно:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему уравнений первого порядка

( 1 )

где искомые функции, аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Решить систему – значит определить функции , удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:

( 2 )

Интегрирование системы (1) производится следующим образом.

Дифференцируем по первое из уравнений (1):

Заменяя производные их выражениями из уравнений (1), будем иметь уравнение

.

Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, получим:

.

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

.

Итак, получим следующую систему:

( 3 )

Из первых уравнений определим выразив их через и производные :

( 4 )

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение порядка для определения :

. ( 5 )

Решая уравнение (5), определим :

( 6 )

Дифференцируя выражение (6) раз, найдём производные

как функции от . Подставляя эти функции в (4), получим :

( 7 )

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть дана система дифференциальных уравнений

( 1 )

где постоянные, аргумент, искомые функции, . Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путём сведения к одному уравнению го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению го порядка. Этот метод даёт возможность более наглядно анализировать характер решений.

Будем искать решение системы в виде:

( 2 )

Надо определить постоянные и так, чтобы функции удовлетворяли системе уравнений (1), т.е.

Сократив на , перенеся все члены в одну сторону и собрав коэффициенты при , получим систему уравнений

( 3 )

Выберем и такими, чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно . Из курса линейной алгебры следует, что она будет иметь нетривиальное решение, если

( 4 )

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.

В качестве примера рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения - действительные и различные.

Для каждого корня напишем систему уравнений (3) и определим коэффициенты

.

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня решение системы (1)

для корня решение системы (1)

для корня решение системы (1)

.

Путём непосредственной подстановки в уравнения можно убедиться, что система функций

( 5 )

где произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (1). Это есть общее решение системы (1)

Использованная литература:

Пискунов Н.С., Дифференциальное и интегральное исчисления: для ВТУЗов, т.1,2. –М.: «Наука», 1970. -576 с.

Фролов С.В., Курс высшей математики: учебное пособие для студентов вузов. т.1,2. –М.: Высшая школа, 1973. -400 с.

Глаголев Ф.Ф., Солнцева Т.В., Курс высшей математики. –М.: Высшая школа, 1971. -654с.

Запорожец Г.И., Руководство к решению задач по математическому анализу –М.: Высшая школа, 1964. -479 с.

Данко П.Е. , Попов А.Г., Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для студентов втузов, ч. 2. –М.: Высшая школа, 1974. -416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов под редакцией Б.П.Демидовича. –М: Наука, 1970. -472с.

Берман Г.Н., Сборник задач по курсу математического анализа. –М: «Наука».1985. – 383 с.

Дюбюк П.Е. и др., Сборник задач по курсу высшей математики. –М: «Высшая школа». 1965. – 591 с.