Неоднородные линейные уравнения второго порядка
Неоднородное линейное уравнение второго порядка имеет вид
Общее
решение данного уравнения определяется
как сумма какого-нибудь частного решения
этого уравнения
и общего решения
соответствующего однородного уравнения
Так как общее решение однородного уравнения мы уже умеем находить, то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения состоит в нахождении какого-нибудь его частного решения .
Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородного уравнения, который называется методом вариации произвольных постоянных.
Общее
решение однородного уравнения имеет
вид
.
Будем искать частное решение неоднородного
уравнения
в
такой же форме, предполагая
и
как некоторые пока неизвестные функции
от
,
т.е.
,
(1)
где
.
Продифференцируем
равенство (1):
(2)
Подберём
и
так, чтобы выполнялось равенство
,
тогда
(3)
(4)
Подставляя (1), (3) и (4) в уравнение , получим
или
Т.к.
и
-
решения однородного уравнения
,
то
и
,
следовательно
.
Таким образом, выражение (1) будет решением
неоднородного уравнения
в
том случае, если
и
удовлетворяют системе уравнений:
(5)
Так
как определителем этой системы является
определитель Вронского для линейно
независимых решений
и
уравнения
,
то
он не равен нулю; следовательно, решая
систему, мы найдём
и
как определённые функции от
:
.
Интегрируя, получим
,
.
Подставив значения и в выражение (1), найдём общее решение неоднородного уравнения.
Решение
уравнения
,
где правая часть есть сумма двух функций
и
,
можно представить в виде суммы
,
где
и
есть соответственно решения уравнений
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:
,
(1)
где и - действительные числа.
В предыдущей теме мы ознакомились с общим методом нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение иногда бывает возможно найти проще, не прибегая к методу вариации произвольных постоянных. Рассмотрим несколько таких возможностей для данного уравнения (1).
Правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен ой степени, т.е.
(2)
Возможны следующие случаи:
Число
не
является корнем характеристического
уравнения
В этом случае частное решение следует искать в виде
(3)
Найдём производные до второго порядка и подставим в уравнение (1):
или
(4)
многочлен
степени
,
многочлен
степени
,
многочлен
степени
.
Таким образом, слева и справа от знака
равенства стоят многочлены
ой
степени. Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях
,
получим систему
уравнений для определения неизвестных
коэффициентов
.
Число является однократным корнем характеристического уравнения
В
этом случае, т.к.
корень
характеристического уравнения, то
и слева в равенстве (4) будет стоять
многочлен
ой
степени, а справа
ой
степени. Следовательно, ни при каких
равенство (4) не было бы тождеством.
Поэтому в рассматриваемом случае частное
решение нужно брать в виде многочлена
степени,
но без свободного члена, т.к. свободный
член этого многочлена исчезнет при
определении производной:
(5)
Число является двукратным корнем характеристического уравнения
Тогда
в равенстве (4) кроме того, что
,
ещё и
.
Следовательно, в левой части равенства
(4) остаётся многочлен
ой
степени. Для того, чтобы в результате
подстановки получить многочлен степени
,
следует частное решение искать в виде
произведения показательной функции на
многочлен
ой
степени . При этом свободный член и член
первой степени этого многочлена исчезнут
при дифференцировании:
(6)
Правая часть уравнения (1) имеет вид:
, (7)
где
и
- многочлены от
,
то форма частного решения определяется
так:
Если число
не
является корнем характеристического
уравнения
то
(8)
где
и
- многочлены, степень которых равна
наивысшей степени многочленов
и
;
Если число является корнем характеристического уравнения
то
.
(9)
Замечание.
Указанные формы частных решений (8) и
(9) сохраняются и в том случае, когда в
правой части уравнения (1) один из
многочленов
и
тождественно равен нулю, т.е.
когда правая часть имеет вид
или
