МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования «Уфимский государственный нефтяной
технический университет» в г. Салавате
КУРС ЛЕКЦИИ ПО РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ
«Комплексные числа»
«Неопределенный и определенный интегралы»
«Дифференциальные уравнения»
Составитель: Хазиев Ф.М.
Салават 2012
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексные числа и действия над ними
Комплексным
числом
называется выражение вида
(алгебраическая форма комплексного
числа), где
и
- любые действительные числа,
мнимая
единица, удовлетворяющая условию
.
Числа
и
называются соответственно действительной
и мнимой частями комплексного числа
и обозначаются
.
Комплексное число
называется сопряженным комплексному
числу
.
Комплексные числа
и
считаются равными тогда и только тогда,
когда
.
Комплексное число
изображается в плоскости
точкой
,
либо вектором
,
начало которого находится в начале
координат, а конец в точке
(рис.12). Длина вектора
называется модулем комплексного числа
и обозначается
,
так что
.
Угол
,
образованный вектором
и осью
,
называется аргументом комплексного
числа
и обозначается
;
он определяется не однозначно, а с
точностью до слагаемого, кратного
:
,
где
есть главное значение
,
определяемое условиями
,
причем
Тригонометрическая форма комплексного числа
Из
рис.12 следует
,
следовательно
.
Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид
Действия над комплексными числами
Пусть
даны два комплексных числа: в алгебраической
форме
и
или в тригонометрической форме
и
;
;
;
;
;
; ,
;
,
т.к.
формула
Эйлера.
Из
перечисленных действии докажем, что
.
Пусть
или
.
Так как у равных комплексных чисел
модули равны, а аргументы могут отличаться
на число, кратное
,
то
;
.
Отсюда находим:
.
Подставив найденные значения в
первоначальное равенство, получим:
.
Придавая
значения
,
получим
различных значений корня. Для значений
аргументы будут отличаться от полученных
на число, кратное
,
и, следовательно (учитывая, что
и
имеют своим периодом
),
получатся значения корня, совпадающие
с рассмотренными.
Неопределённый интеграл Первообразная и неопределённый интеграл
Дана
функция
;
требуется найти такую функцию
,
производная которой была бы равна
.
Определение
1.
Функция
называется первообразной от функции
на отрезке
,
если во всех точках этого отрезка
выполняется равенство
.
Так,
например, для функции
первообразной
является функция
,
т.к.
.
Однако, легко заметить, что функции
и вообще
,
так же являются первообразной функции
,
т.к.
.
Определение
2.
Если
функция
является первообразной для
,
то выражение
называется неопределённым интегралом
от функции
и обозначается символом
.
Таким образом, по определению,
.
подынтегральная
функция,
подынтегральное
выражение,
знак
интеграла.
Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции .
Из определения 2 следует:
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если
,
то
.Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
.Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.
.
Неопределённый интеграл обладает следующими свойствами:
.
Таблица интегралов
-
№
Основные формулы
Частный случай
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
