Сложение матриц и умножение на число

Сложение определено только для матриц одинаковых размеров.

        Определение 14.2   Суммой матриц и размеров является матрица таких же размеров, у которой , , .         

Другими словами, при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

        Определение 14.3   Произведением матрицы размеров на число называется матрица таких же размеров, у которой , , .         

Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например, .

Операцию вычитания матриц можно определить следующим способом:

что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

Используя операции сложения и умножения, мы можем находить линейные комбинации матриц, то есть выражения вида , где  -- числа,  -- матрицы одинаковых размеров.

        Пример 14.1   Пусть , . Найдем :

        

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

1. -- свойство коммутативности;

2. -- свойство ассоциативности;

3. ;

4. ;

5. -- свойство дистрибутивности;

6. ;

7. ;

8. .

Здесь -- матрицы, -- числа, 0 -- нулевая матрица.

Отметим, что перечисленные здесь свойства совпадают со свойствами векторов, из теоремы 10.1.

Умножение матриц

        Определение 14.4   Произведением матрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой вычисляются по формуле

(14.5)

где , .         

Во-первых, в этом определении нужно обратить внимание на то, что важен порядок сомножителей, нужно знать, какой сомножитель первый, а какой -- второй.

Во-вторых, нужно отметить, что произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Если это условие не выполняется, то произведение не определено.

В-третьих, размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов результата равно числу столбцов второго сомножителя.

Правило вычисления элементов произведения можно сформулировать следующим образом.

Для того, чтобы вычислить элемент произведения, стоящий в -ой строке и -ом столбце, нужно взять -ую строку первого сомножителя и -ый столбец второго сомножителя, попарно перемножить их элементы, стоящие на одинаковых местах, и результаты сложить. (Точно так же мы поступаем, когда находим скалярное произведение двух векторов по их координатам, см. формулу (14.2).)

        Пример 14.3   Даны матрицы , . Найдите произведения и .

Решение. Рассмотрим произведение . Число столбцов в первом сомножителе равно 3, число строк во втором сомножителе тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено.

Результатом умножения будет матрица , , у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 2. Итак, матрица имеет размеры .

Находим элемент . В его вычислении участвует первая строка первого сомножителя и первый столбец второго сомножителя :

Находим элемент . В его вычислении участвует первая строка первого сомножителя и второй столбец второго сомножителя :

Все элементы первой строки матрицы вычислены. Находим элемент . В его вычислении участвует вторая строка первого сомножителя и первый столбец второго сомножителя :

Находим элемент . В его вычислении участвует вторая строка первого сомножителя и второй столбец второго сомножителя :

Вычислены все элементы второй строки матрицы . Аналогично находим элементы третьей строки:

Итак, .

Рассмотрим произведение . Число столбцов в первом сомножителе равно 2, число строк во втором сомножителе равно 3. Числа не совпали, следовательно, произведение не определено.

Ответ: , произведение не определено.         

        Замечание 14.3   Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).         

У читателя может возникнуть законный вопрос: "Зачем так сложно определять произведение матриц? Нельзя ли его определить попроще, например, как произведение элементов матриц-сомножителей, стоящих на одинаковых местах?" Ответ на этот вопрос мы увидим позже, когда будем рассматривать системы линейных уравнений, правило изменения координат векторов при изменении базиса и такие неизвестные пока читателю объекты как линейные преобразования и квадратичные формы. Тогда мы увидим, что введенное определение умножения матриц используется очень эффективно, что оно "похоже" на умножение чисел. Если же произведение матриц определить по-другому, то его не удается разумно использовать ни в математике, ни в прикладных науках.

Рассмотрим, какими свойствами обладает операция умножения матриц.

Прежде всего отметим, что умножение матриц -- некоммутативная операция. Это означает, что существуют такие матрицы и , что

Для прямоугольных матриц мы убедились в этом в примере 14.3. В нем произведение существует, а произведение  -- нет. Для квадратных матриц это видно из следующего примера. Пусть , . Тогда

то есть .

        Предложение 14.4   Умножение матриц обладает следующими свойствами: -- ассоциативность умножения; , где -- число; , -- дистрибутивность умножения; , , где -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

        Доказательство.     На протяжении всего доказательства предполагается, что  -- матрица размеров .

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь размеры . Произведение обозначим буквой . Тогда матрица имеет размеры . Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь размеры . Матрицу обозначим , матрицу обозначим , матрицу обозначим . Покажем, что элементы, стоящие в -ой строке и -ом столбце матриц и , равны друг другу, то есть что .

По определению

Подставив из второго равенства в первое, получим

В силу предложения 14.1

В силу предложения 14.3

(14.6)

С другой стороны

откуда

Применим предложение 14.1

Сравнивая этот результат с (14.6), заключаем, что . Ассоциативность умножения доказана.

Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно.

Докажем дистрибутивность умножения. Чтобы произведение было определено, матрицы и должны иметь размеры . Положим , , , , . Для доказательства равенства , нужно доказать, что , , .

Так как , то

По определению суммы матриц, . Следовательно,

(14.7)

С другой стороны,

Тогда

Сравнивая полученный результат с (14.7), получаем . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано. Второе равенство доказывается аналогично.

Докажем первое равенство в свойстве 4. Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь порядок . Пусть . Тогда

где  -- символ Кронекера. Сумма справа имеет вид

Таким образом , первое равенство в свойстве 4 доказано. Второе равенство доказывается аналогично.     

        Замечание 14.4   Из ассоциативности умножения матриц следует, что если произведение содержит три и более сомножителей, то его можно записывать без использования скобок. Например, или . Эта кажущаяся очевидной запись произведения верна не для всяких математических объектов. Действительно, в силу предложения 10.23, для векторного произведения векторов запись неприемлема, так как результат вычисления этого произведения зависит от расстановки скобок.         

        Замечание 14.5   Свойство дистрибутивности позволяет раскрывать скобки в матричных выражениях. Но нужно обратить внимание, что, раскрывая скобки, нельзя менять порядок сомножителей.         

        Замечание 14.6   Свойство 4 объясняет происхождение названия "единичная" матрица. В умножении матриц единичная матрица ведет себя так же, как число 1 при умножении чисел.         

Упражнение14.4.6. Докажите, что произведение двух верхних треугольных матриц одного порядка является верхней треугольной матрицей того же порядка. Докажите аналогичное утверждение для нижних треугольных матриц.     

Упражнение14.4.7. По определению считается, что . Покажите, что для матриц формула не верна. Объясните почему.

Определители

С понятием определителя мы уже сталкивались при изучении векторного произведения в разделе 10. Там были введены определители матриц второго и третьего порядка. В этом разделе мы дадим определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Такое рекуррентное определение и было использовано для введения определителя матрицы третьего порядка. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать или .

        Определение 14.6   Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число . Определителем квадратной матрицы порядка , , называется число

где  -- определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .         

Легко проверить, что это определение для определителей второго и третьего порядка совпадает с данным ранее в разделе 10.

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

        Замечание 14.7   Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.         

        Замечание 14.8   В определении 14.6 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.         

        Замечание 14.9   В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение .         

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.

        Предложение 14.6   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .     

        Предложение 14.7   Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .     

        Предложение 14.8   Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.     

Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3], [5] или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков.

        Предложение 14.9   Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Поменяем местами две одинаковые строки. В силу предложения 14.8 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что , откуда следует, что .     

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

        Предложение 14.10   Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

        Доказательство.     Пусть -- исходная матрица,  -- матрица, полученная из умножением первой строки на число :

Тогда

где -- определитель матрицы, полученной из матрицы или, что то же самое, из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца.

Вынесем множитель за знак суммы и получим

Пусть теперь матрица получается из матрицы умножением -ой строки на число . Поменяем местами первую и -ую строки в матрице и то же самое проделаем в матрице . Получим две новых матрицы и . По предложению 14.8

(14.10)

Очевидно, что матрица получается из матрицы умножением первой строки на число . Как только что было доказано, . Таким образом, из второго равенства (14.10) находим , отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем .     

        Предложение 14.11   Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Нулевую строку можно рассматривать как строку из единиц, умноженную на число ноль. По предложению 14.10 определитель такой матрицы равен нулю, умноженному на определитель матрицы, содержащей строку из единиц. Результат такого умножения всегда будет ноль.     

        Предложение 14.12   Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.    По предложению 14.10 определитель исходной матрицы равен числу , умноженному на определитель матрицы, у которой есть две одинаковые строки. По предложению 14.9 определитель последней матрицы равен нулю. Поэтому и определитель исходной матрицы равен нулю.     

        Предложение 14.13   Пусть в матрице -ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой -ой строки на строку , а матрица  -- заменой -ой строки на строку .

        Доказательство.     Пусть первая строка матрицы имеет вид . Тогда

Для случая утверждение доказано.

Пусть . Обозначим через , , матрицы , , и , в которых поменяли местами первую и -ую строки. По только что доказанному (для ) утверждению . По предложению 14.8 , , . Следовательно, . Умножив обе части последнего равенства на , получим требуемое утверждение.     

        Предложение 14.14   Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

        Доказательство.     Пусть к -ой строке матрицы прибавлена -ая строка, умноженная на число . Новую матрицу обозначим . В матрице элементы -ой строки имеют вид . По предложению 14.13 , где  -- матрица, полученная из матрицы заменой -ой строки на -ую строку, умноженную на число . По предложению 14.12 , то есть .     

        Предложение 14.15   Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.     По предложению 14.13 определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. По предложению 14.12 все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю.     

        Определение 14.7   Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где  -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.         

Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .

        Пример 14.4   Пусть . Тогда

        

        Замечание 14.10   Используя алгебраические дополнения, определение 14.6 определителя можно записать так:

        

        Предложение 14.16   Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула

        Доказательство.     Если , положим . Пусть . Тогда -ую строку поменяем местами со строкой с номером . Определитель сменит знак. Затем строку с номером поменяем местами со строкой с номером . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока -ая строка матрицы не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим . Отметим, что в матрице , начиная со второй строки, стоят строки матрицы , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы к матрице определитель сменит знак раз (проверьте для случая ). Таким образом

(14.11)

Это соотношение верно и при . По определению 14.6 определителя,

где  -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца. Первая строка матрицы совпадает с -ой строкой матрицы , поэтому . Результат вычеркивания в матрице первой строки и -ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Поэтому , где  -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Следовательно,

В силу равенства (14.11) получим

По определению 14.7 алгебраического дополнения получим . Тогда из предыдущего равенства вытекает

что и требовалось доказать.     

        Пример 14.5   Вычислите .

Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех -- нули. Получим

        

        Предложение 14.17   Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение

(14.12)

        Доказательство.     Пусть  -- матрица, полученная из матрицы , в которой -ая строка заменена -ой строкой этой же матрицы, а сама -ая строка осталась без изменения. Таким образом, в матрице есть две одинаковые строки и в силу  предложения 14.9 .

С другой стороны, используя разложение определителя по -ой строке (предложение 14.16), получим

где  -- алгебраическое дополнение к элементу . Так как все строки матрицы , кроме -ой, совпадают со строками матрицы , то . Так как по построению матрицы , то

Так как , то равенство (14.12) доказано.     

        Предложение 14.18   Все свойства определителя, сформулированные для строк ( предложения 14.8-14.17), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу

(14.13)

и равенство

при .

        Доказательство.     В силу  предложения 14.6 определитель не меняется при транспонировании матрицы, а ее столбцы становятся строками транспонированной матрицы, для которой доказываемые свойства имеют место.     

        Предложение 14.19   Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

        Доказательство.     Воспользуемся индукцией по порядку матрицы. Для :

утверждение верно. Предположим, что доказываемое утверждение верно для матриц порядка . Покажем, что оно верно для матрицы порядка .

Если -- верхняя треугольная матрица, то используем разложение по первому столбцу (равенство (14.13) при ):

Справа стоит определитель треугольной марицы порядка . По предположению индукции этот определитель равен . Поэтому .

Если  -- нижняя треугольная матрицы, то нужно воспользоваться разложением по первой строке. В остальном рассуждения аналогичны.

Итак, утверждение верно для матрицы порядка . Предложение доказано.     

        Следствие 14.1   Определитель единичной матрицы равен единице, .     

Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце.

Пусть требуется вычислить определитель матрицы порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по  предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен

Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен .

Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

Остальные элементы новой третьей строки обозначим , . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен .

Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее , которая имеет вид

причем . Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу

Так как , то

В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.     

Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма -- по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.

        Пример 14.6   Вычислите определитель матрицы

.

Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. В результате получаем

По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

В результате получаем

Ответ. .         

        Замечание 14.11   Внимательный читатель, наверное, отметил, что хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа -- целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.