
- •Конспект лекций
- •1. Теория множеств.
- •1.1. Множества
- •1.1.1. Свойства подмножеств.
- •1.1.2 Операции над множествами.
- •1.1.3 Алгебра теории множеств.
- •1.1.4 Решение уравнений алгебры множеств.
- •1.2. Кортеж.
- •1.2.1 Проекция множества.
- •1.2.2 График и свойства графика
- •1 .2.3. Свойства графиков.
- •1.3. Соответствия и отношения
- •1.3.1. Прямое (декартовое) произведение множество.
- •1.3.2. Соответствия.
- •1.3.2.1. Свойства соответствий.
- •1.3.3. Отношения.
- •1 .3.3.1. Операции над отношениями.
- •1.3.3.2 Основные свойства отношений.
- •1.4. Решетки.
- •1.4.1 Диаграммы Хассе.
- •1.4.2 Алгебраическое представление решеток.
- •2. Математическая логика
- •2.1. Высказывания
- •2.1.1. Высказывания и операции над высказываниями.
- •2.1.2. Операции над высказываниями.
- •2.2. Формулы математической логики.
- •2.2.1. Формулы равносильности.
- •2.3. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики
- •2.4. Различные формы представления высказываний
- •2.5. Выполнимость формулы алгебры логики
- •Выполнимые.
- •2.6. Применение математической логики.
- •2.7. Минимизация сложных высказываний.
- •2.7.1. Метод Квайна.
- •2.7.2. Метод минимизирующих карт.
- •2.7.3. Метод минимизации с помощью карт Вейча.
- •2.8. Булевые функции и их свойства.
- •2.8.1. Функциональная полнота. Теорема Поста.
- •2.9. Логика предикат.
- •2.9.1. Логические операции над предикатами.
- •2.9.2. Квантовые операции.
- •2.9.3. Равносильные формулы логики предикатов.
- •2.9.4. Предваренная нормальная форма предиката
- •3. Теория графов
- •3.1. Основные понятия теории графов.
- •Перечислением:
- •Множеством образов:
- •Матрицей инцидентности
- •Матрицей смежности
- •3.2. Эйлеров граф.
- •3.3. Ядро графа.
- •3.3.1. Множество внутренней устойчивости графа
- •3.3.1.1. Алгоритм Магу для определения множества внутренней устойчивости графа
- •3.3.2. Множество внешней устойчивости графа
- •3.3.2.1. Алгоритм Магу для определения множества внешней устойчивости.
- •3.4. Множество путей в графе
- •3.5. Минимальный путь в графе.
- •3.5.1. Алгоритм фронта волны.
- •3.6. Ярусно-параллельная форма графов
- •3.6.1. Алгоритм приведения графа к ярусно-параллельной форме.
- •3.7. Деревья и леса
- •3.7.1. Алгоритм получения дерева из графа
- •4. Теория алгоритмов
- •4.1. Рекурсивная функция
- •4.2. Машина Тьюринга
- •4.2.1. Работа машины Тьюринга
- •4.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •4.3.1. Работа нормального алгоритма Маркова
- •5. Теория автоматов
- •5.1. Законы функционирования автоматов.
- •5.2. Задание автоматов
- •5.3. Минимизация автоматов
- •5.3.1. Алгоритм минимизации автомата Мили
- •5.3.2. Особенности минимизации автомата Мура.
- •5.3.3. Минимизация частичных автоматов.
- •5.4. Переход от автомата Мили к автомату Мура
- •5.5. Переход от автомата Мура к автомату Мили
- •6. Комбинаторика
- •6.1. Основные понятия.
- •6.2. Перестановки.
- •6.3. Размещения.
- •6.4. Сочетания.
- •6.5. Треугольник Паскаля.
- •6.6. Биномиальная формула (бином Ньютона).
- •7. Нечеткие множества
- •7.1. Введение
- •7.2. Основные определения.
- •7.3. Операции над нечеткими множествами.
- •7.3. Наглядное представление операций над нечеткими множествами.
- •7.4. Свойства основных операций над нечеткими множествами.
- •7.5. Алгебраические операции над нечеткими множествами.
- •8. Нечеткая логика.
- •8.1. Лингвистические переменные
- •8.2. Нечеткая истинность
- •8.3. Нечеткие логические операции
- •9. Литература
7.3. Операции над нечеткими множествами.
Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда множество является четким, операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.
Пусть и - нечеткие множества.
Множество
является подмножеством
множества
,
если:
(7.4)
Пример
Если - множество чисел, очень близких к 10, а - множество чисел, близких к 10, то .
Два нечетких множества и равны тогда и только тогда, когда равны их функции принадлежности.
Объединением нечетких множеств и называется наименьшее нечеткое подмножество, включающее как , так и , с функцией принадлежности
(7.5)
Пересечением
нечетких множеств
и
называется наибольшее нечеткое
подмножество, содержащееся одновременно
в
и
,
с функцией принадлежности
(7.6)
Разностью
нечетких множеств
и
называется нечеткое множество с
функцией принадлежности
(7.7)
Дополнением нечеткого множеств и называется нечеткое множество , функция принадлежности которого определяется следующим образом:
(7.8)
Дизъюнктивной
суммой
нечетких множеств
и
называется нечеткое множество с
функцией принадлежности
(7.9)
Пример
Пусть заданы множества и :
Очевидно,
что
.
7.3. Наглядное представление операций над нечеткими множествами.
Наглядное представление основных операций представлено следующим образом.
На рисунке рассматривается прямоугольная система координат, на оси ординат которой откладываются значения , на оси абсцисс в произвольном порядке располагаются элементы . Если по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс.
Рис. 7.3. Нечеткое множество
На рис 7.3 заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству .
Рис. 7.4. Нечеткое множество
Рис.
7.5. Нечеткое множество
Рис.
7.6. Нечеткое множество
Пример.
Пусть - нечеткое множество "от 5 до 8") и - нечеткое множество "около 4", заданные своими функциями принадлежности:
Рис. 7.7.
Тогда, операции пересечения, объединения и дополнения могут быть представлены следующим образом:
Рис. 7.8.
7.4. Свойства основных операций над нечеткими множествами.
Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:
Коммутативный закон
(7.8)
Ассоциативный закон
(7.9)
Дистрибутивный закон
(7.10)
Закон де Моргана
(7.11)
Закон идемпотентности
(7.12)
Операции с пустым множеством:
, (7.13)
где
- пустое множество с функцией принадлежности
Операции с универсумом:
(7.14)
Представление разности через объединение и дополнение
(7.15)
Представление дизъюнктивной суммы через объединение и дополнение
(7.16)
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:
(7.17)
(7.18)