6.3. Размещения.
Число
упорядоченных k
элементных подмножеств (кортежей длиной
в k
компонент) множества из n
элементов называется числом размещений
из n
элементов по k и обозначается
(от фран. "arrangement" - размещение)
Теорема. Число размещений из n элементов по k вычисляется следующим образом:
(6.2)
Доказательство.
Произвольный кортеж имеет вид:
Элемент
можно выбрать n
способами. После каждого выбора
элемент
можно выбрать (n-1)
способами. После каждого выбора элементов
и
элемент
можно выбрать (n-2)
способами, и т.д. После каждого выбора
элементов
,
,
…,
элемент
можно выбрать (n-(k-1))
= (n-k+1)
способами. Тогда, по свойству
мультипликативности, последовательность
можно выбрать числом способов, равным:
(6.3)
Если произведение в левой части равенства умножить и разделить на (n-k)!, то выражение (6.3) будет иметь вид:
(6.4)
Пример.
Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?
Решение.
Искомое число способов равно числу
4–элементных упорядоченных подмножеств
из 8 элементов, т.е.
способов.
Если
в форуме (6.4)
,
то есть имеет место перестановка. Тогда
число размещений должно быть равно
числу перестановок
.
Действительно:
6.4. Сочетания.
Произвольное k–элементное подмножество n–элементного множества называется сочетанием (комбинацией) из n элементов по k (k<=n). Порядок элементов в подмножестве не имеет значения.
Обозначим
через
число
k-сочетаний
из данных
n элементов.
Формулу для числа
получим, рассуждая следующим образом.
Если каждое сочетание упорядочить всеми
возможными способами, то получим все
k-последовательностей
из n
элементов, без повторений, то есть все
k-размещения.
Иными словами:
(6.5).
Откуда:
(6.6).
Или:
(6.7).
Пример.
В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые 2 шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире?
Решение.
Партий было сыграно столько, сколько можно выделить 2–элементных подмножеств во множестве из n элементов, т.е.
Сочетания имеют следующие свойства:
Условимся, что:
(6.8)
(6.9)
Действительно, если , то формула (6.7) имеет вид:
(6.10)
(6.11)
(6.12)
Сочетания и размещения широко используются при вычислении классической вероятности случайных событий.
Пример.
В корзине находятся 20 орехов, из которых 7 грецких. Наудачу выбирают 5 орехов. Найти вероятность того, что среди выбранных орехов содержатся 2 грецких.
Решение.
Решение.
Число исходов опыта
..
Случайное событие A - среди пяти выбранных
орехов содержатся 2 грецких ореха.
Число
исходов, благоприятствующих событию
A, равно:
.
Искомая вероятность
.
6.5. Треугольник Паскаля.
Используя (6.11), число сочетаний можно представить в виде треугольника Паскаля:
Треугольник Паскаля обладает таким свойством, что каждый элемент строки, кроме крайних, равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке. В начале и в конце каждой строки стоят единицы.
Заметим, что Блез Паскаль называл числовой треугольник, начало которого содержится в таблице1, арифметическим. Паскаль посвятил свойствам арифметического треугольника основополагающий "Трактат об арифметическом треугольнике" (1654). Справедливости ради, стоит упомянуть, что биномиальные коэффициенты были хорошо известны в Азии за много веков до рождения Паскаля. В Италии треугольник Паскаля называют треугольником Тартальи.