94

Пермский государственный технический университет

Конспект лекций

по курсу: “Дискретная математика”

Составил:

к.т.н., доцент Андриевская Н.В.

ПЕРМЬ 2006

1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. 4

1.1. Множества 4

1.1.1. Свойства подмножеств. 4

1.1.2 Операции над множествами. 5

1.1.3 Алгебра теории множеств. 6

1.1.4 Решение уравнений алгебры множеств. 6

1.2. Кортеж. 8

1.2.1 Проекция множества. 8

1.2.2 График и свойства графика 9

1.2.3. Свойства графиков. 10

1.3. Соответствия и отношения 11

1.3.1. Прямое (декартовое) произведение множество. 11

1.3.2. Соответствия. 11

1.3.3. Отношения. 12

1.4. Решетки. 14

1.4.1 Диаграммы Хассе. 14

1.4.2 Алгебраическое представление решеток. 16

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 18

2.1. Высказывания 18

2.1.1. Высказывания и операции над высказываниями. 18

2.1.2. Операции над высказываниями. 18

2.2. Формулы математической логики. 20

2.2.1. Формулы равносильности. 20

2.3. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики 21

2.4. Различные формы представления высказываний 22

2.5. Выполнимость формулы алгебры логики 26

2.6. Применение математической логики. 27

2.7. Минимизация сложных высказываний. 28

2.7.1. Метод Квайна. 28

2.7.2. Метод минимизирующих карт. 29

2.7.3. Метод минимизации с помощью карт Вейча. 31

2.8. Булевые функции и их свойства. 32

2.8.1. Функциональная полнота. Теорема Поста. 33

2.9. Логика предикат. 33

2.9.1. Логические операции над предикатами. 34

2.9.2. Квантовые операции. 34

2.9.3. Равносильные формулы логики предикатов. 35

2.9.4. Предваренная нормальная форма предиката 36

3. ТЕОРИЯ ГРАФОВ 37

3.1. Основные понятия теории графов. 37

3.2. Эйлеров граф. 41

3.3. Ядро графа. 42

3.3.1. Множество внутренней устойчивости графа 42

3.3.2. Множество внешней устойчивости графа 45

3.4. Множество путей в графе 46

3.5. Минимальный путь в графе. 47

3.5.1. Алгоритм фронта волны. 47

3.6. Ярусно-параллельная форма графов 49

3.6.1. Алгоритм приведения графа к ярусно-параллельной форме. 49

3.7. Деревья и леса 51

3.7.1. Алгоритм получения дерева из графа 52

4. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ 54

4.1. Рекурсивная функция 54

4.2. Машина Тьюринга 57

4.2.1. Работа машины Тьюринга 58

4.3. Нормальные алгоритмы Маркова 59

4.3.1. Работа нормального алгоритма Маркова 59

5. ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ 60

5.1. Законы функционирования автоматов. 60

5.2. Задание автоматов 60

5.3. Минимизация автоматов 63

5.3.1. Алгоритм минимизации автомата Мили 63

5.3.2. Особенности минимизации автомата Мура. 66

5.3.3. Минимизация частичных автоматов. 66

5.4. Переход от автомата Мили к автомату Мура 66

5.5. Переход от автомата Мура к автомату Мили 68

6. КОМБИНАТОРИКА 71

6.1. Основные понятия. 71

6.2. Перестановки. 71

6.3. Размещения. 73

6.4. Сочетания. 74

6.5. Треугольник Паскаля. 75

6.6. Биномиальная формула (бином Ньютона). 76

7. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА 77

7.1. Введение 77

7.2. Основные определения. 77

7.3. Операции над нечеткими множествами. 79

7.3. Наглядное представление операций над нечеткими множествами. 81

7.4. Свойства основных операций над нечеткими множествами. 82

7.5. Алгебраические операции над нечеткими множествами. 83

8. Нечеткая логика. 86

8.1. Лингвистические переменные 86

8.2. Нечеткая истинность 88

8.3. Нечеткие логические операции 90

9. ЛИТЕРАТУРА 94