Часть II: вычисляем главные центральные моменты инерции сечения.

1. Проводим параллельно главным центральным осям сечения центральные оси простых составляющих (рис. 2.6).

2. Определяем расстояния между соответствующими параллельными осями сечения.

, , .

После вычисления данных параметров следует их показать на чертеже (см. рис. 2.6).

3. Определяем момент инерции сечения относительно главной центральной оси x_с.

Поскольку сечение сложное следует воспользоваться первой формулой (13) § 1.5. Применительно к данному случаю, она запишется следующим образом:

,

, , , - моменты инерции двутавра (фигура I), прямоугольника (фигура II), круга (фигура III), треугольника (фигура IV) относительно главной центральной оси x_с всего сечения.

Рассмотрим первое слагаемое.

Поскольку момент инерции двутавра относительно собственных центральных осей известен (см. часть I, пункт 2), преобразуем его в искомый момент инерции . Для этого воспользуемся формулой перехода между параллельными осями (18). Для решения данной задачи она запишется следующим образом:

.

Рассуждая аналогичным образом, определим моменты инерции остальных составляющих сечения относительно оси x_с.

,

,

Подставив полученные значения в исходную формулу, получим:

.

.

4. Вычисляем момент инерции сечения относительно главной центральной оси y_с.

Воспользуемя второй формулой (13) § 1.5. Применительно к данному случаю, она запишется следующим образом:

.

Поскольку собственные центральные оси простых составляющих сечения , , , совпадают с главной центральной осью всего сечения y_с, формула перехода между параллельными осями не требуется. Следовательно, компоненты исходного выражения определяются как:

, , , .

Тогда:

,

.

Часть III: вычисляем моменты сопротивления составного сечения относительно главных центральных осей.

1. Определим расстояния от главных центральных осей до наиболее удалённых точек сечения, затем покажем их на чертеже (см. рис. 2.6).

,

,

.

2. Вычисляем осевые моменты сопротивления сечения с помощью формул (28) и (30).

, ;

.

Задача 2.3

Требуется: 1) определить положение центра тяжести составного сечения, показанного на рис. 2.8; 2) вычислить главные центральные моменты инерции сечения; 3) определить моменты сопротивления составного сечения относительно главных центральных осей.

Решение.

Часть I: определяем положение центра тяжести составного сечения.

В ыполнение первой части задания осуществим, ориентируясь на план, приведённый в § 1.2, стр. 6-7.

1. Разбиваем сложное сечение на простые составляющие: швеллер – фигура I, полоса – фигура II, неравнополочный уголок – фигура III, (рис. 2.9).

2. О пределяем на основании соответствующих формул и стандартных таблиц геометрические характеристики простых составляющих сечения относительно собственных центральных осей. (ГОСТ прокатных профилей есть в приложениях литературных источников, приведённых в списке литературы).

Геометрические характеристики швеллера согласно ГОСТ 8240 – 72 (см. рис. 2.9, а):

• площадь

,

• координата центра тяжести ,

• толщина стенки

,

• высота ,

• ширина ,

• моменты инерции относительно собственных центральных осей:

,

Геометрические характеристики полосы (см. рис. 2.9, б):

• площадь ,

• высота ,

• ширина ,

• моменты инерции относительно собственных центральных осей:

,

.

Геометрические характеристики неравнополочного уголка согласно ГОСТ 8510 – 72 в соответствии с его расположением в сечении следующие (см. рис. 2.7,в):

• площадь ;

• координаты центра тяжести , ;

• высота ;

• ширина ;

• м оменты инерции относительно собственных центральных осей:

, ;

• минимальный момент инерции ;

• угол наклона минимальной оси .

3. Выбираем и показываем на чертеже вспомогательную систему координат. В данном случае рационально совместить вспомогательную систему с собственными центральными осями полосы, , (рис. 2.10).

4. Показываем центры тяжести простых составляющих сечения. На чертеже они отмечены точками (см. рис. 2.10).

5. Показав положение центров тяжести простых составляющих, вычисляем их координаты относительно вспомогательных осей , .

, ;

, ;

, .

При обозначении координат центров тяжести простых составляющих принято, что верхний индекс означает номер простой составляющей, нижний индекс связан с названием вспомогательных осей.