Часть I: определяем положение центра тяжести составного сечения.

Д ля выполнения первой части задания обратимся к плану, приведённому в § 1.2, стр. 6-7.

1. Разбиваем сложное сечение на простые составляющие: двутавр – фигура I, прямоугольник – фигура II, круг – фигура III, равнобедренный треугольник – фигура IV (рис. 2.6).

2. Определяем на основании соответствующих формул и стандартных таблиц геометрические характеристики простых составляющих сечения. (ГОСТ прокатных профилей есть в приложениях литературных источников, приведённых в списке литературы).

Геометрические характеристики двутавра согласно ГОСТ 8239 – 72 в соответствии с его расположением в сечении следующие (рис. 2.7, а):

• площадь ,

• высота двутавра ,

• ширина двутавра ,

• моменты инерции относительно собственных центральных осей

, .

В таблице стандарта стенка двутавра расположена вертикально, в рассматриваемой задаче стенка расположена горизонтально. При решении задачи это должно быть учтено. В таблице сортамента центральная ось, перпендикулярная стенке двутавра, обозначается буквой x. В рассматриваемой задаче, в виду того, что стенка расположена горизонтально, эта ось поворачивается на 90º и обозначается с помощью буквы y, а точнее - . Эти особенности, обусловленные расположением двутавра, были учтены выше, при определении геометрических характеристик двутавра.

Геометрические характеристики прямоугольника (рис. 2.7,б):

• площадь ,

• моменты инерции относительно собственных центральных осей

, .

Геометрические характеристики круга (рис. 2.7, в):

• площадь ,

• моменты инерции относительно собственных центральных осей

.

Геометрические характеристики равнобедренного треугольника (рис. 2.7, г):

• площадь ,

• моменты инерции относительно собственных центральных осей

, .

3. Выбираем и показываем на чертеже вспомогательную систему координат. В данном случае рационально совместить вспомогательную систему с собственными центральными осями прямоугольника. Обозначим их как , (см. рис. 2.6).

4. Показываем центры тяжести простых составляющих сечения (см. рис. 2.6). На чертеже они отмечены точками.

5. Определив положение центров тяжести простых составляющих, вычисляем их координаты относительно вспомогательных осей , .

.

, ,

.

6. Вычисляем координаты центра тяжести всего сечения относительно вспомогательной системы координат.

Так как сечение симметричное, то одна координата центра тяжести уже известна (центр тяжести находится на оси симметрии сечения). В данном случае известна координата x_с: .

Для определения координаты y_с преобразуем формулу (7), приведённую в § 1.2, следующим образом:

,

где , , , - статические моменты простых составляющих сечения относительно вспомогательной оси .

7. В соответствии с вычисленными координатами показываем на чертеже центр тяжести всего сечения (см. рис. 2.6).

8. Строим главные центральные оси сечения , .

Поскольку сечение симметричное, в данном случае главные центральные оси построить легко. Центр тяжести сечения уже показан, остаётся провести через него оси таким образом, чтобы одна их них совпала с осью симметрии сечения. В нашем случае это ось (см. рис. 2.6).

9. Определяем координаты центров тяжести простых составляющих сечения относительно главных центральных осей.

,

,

,

.

10. Проверяем правильность вычисления координат центра тяжести сечения.

Проверку правильности выполним путём вычисления статического момента сечения относительно главной центрально оси , . Результат вычисления должен равняться нулю (см. § 1.1). Поскольку сечение сложное, то согласно формуле (5) записываем выражение вида:

.

С учётом формулы (3) полученное выражение трансформируется следующим образом:

.

Приближённое равенство нулю объясняется округлением промежуточных результатов вычисления с точностью до второй цифры после запятой. Погрешность лежит в допустимых пределах.

Из проверки следует, что все вычисления первой части выполнены правильно.