1.6 Моменты инерции сечений относительно параллельных осей
Моменты инерции одного и того же сечения относительно разным образом расположенных осей неодинаковы. Из чего следует, что для каждого нового расположения осей для одного и того же сечения необходимо вычислять свой момент инерции. В ряде случаев это весьма затруднительно, как например, для прокатных профилей. Однако существуют формулы преобразования моментов инерции при переходе от одних координатных осей к другим. В этом случае можно определить моменты инерции относительно характерных осей (как правило, интерес представляют главные центральные оси) и, владея формулами перехода, определить моменты инерции относительно других осей, минуя процедуру непосредственного интегрирования.
П
рименяя
термин «разным образом расположенных
осей», автор имеет в виду координатные
оси, плоскости которых совпадают с
плоскостью рассматриваемого сечения.
Наиболее часто встречается преобразование моментов инерции, обусловленное параллельным переносом осей. Для получения соответствующих формул рассмотрим рис. 1.10.
Допустим, что
известны моменты инерции произвольного
сечения относительно осей
и
:
,
,
.
Иными словами координаты элемента площади данного сечения равны и .
Наряду с
рассматриваемой системой координат
присутствует вторая система, оси которой
параллельны осям первой. Обозначим
координаты нулевой точки первой системы
координат относительно второй координатной
системы через a
и c.
Тогда координаты элемента площади
сечения
относительно второй системы:
,
.
При этом моменты инерции сечения
относительной этой системы:
,
,
.
Или с учётом соотношений (1), (2), (9), (12):
|
(16) |
|
(17) |
,
,
.
Предположим, что
оси
и
центральные, то есть
,
.
Тогда
,
.
Формулы (16) и (17) примут вид:
|
(18) |
|
(19) |
,
,
.Для семейства параллельных осей моменты инерции относительно центральных осей имеют минимальные значения (см. (18), (19)).
1.7 Моменты инерции сечений при повороте осей
Ещё один случай преобразования моментов инерции является результатом поворота осей относительно начала координат на некоторый угол α. Для получения выражений, описывающих преобразование моментов инерции, рассмотрим рис. 1.11.
Допустим, что известны моменты инерции произвольного сечения относительно осей и :
,
,
.
где
и
- координаты элемента площади
рассматриваемого сечения
.
Н
аряду
с первой существует вторая система
координат. Их начала совпадают. При этом
вторая система координат повёрнута на
некоторый угол α
против хода часовой стрелки по отношению
к первой (см. рис. 1.11).
Выразим координаты
элементарной площадки относительно
второй системы координат
и
через координаты относительно первой
и
:
,
так как
;
,
так как
.
Тогда моменты инерции сечения относительно второй системы координат следующие:
;
;
.
Или с учётом соотношений (9), (12):
.
В конечном итоге:
|
(20) |
|
(21) |
|
(22) |
,
,
.Если сложить правые и левые части выражений (20) и (21):
или с учётом общеизвестных тригонометрических формул и соотношения (11):
|
(23) |
,Из чего можно сделать вывод: при повороте прямоугольных осей координат сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.