4.4. Задача определения оптимальной политики замены оборудования.

Рассмотрим общую постановку задачи замены оборудования. В рамках планового периода, охватывающего N лет, необходимо определить оптимальные сроки замены оборудования возрастом не старше t лет, с тем чтобы суммарная прибыль от эксплуатации оборудования была максимальной. Для принятия решения имеются следующие данные: 1) годовой доход, получаемый от эксплуатации оборудования соответствующего возраста - ; 2) годовые затраты на эксплуатацию оборудования соответствующего возраста - ; 3) ликвидационная стоимость единицы оборудования - ; 4) цена приобретения единицы нового оборудования - Решение принимается в начале каждого года планового периода.

Дадим содержательную интерпретацию основных понятий метода динамического программирования для данной задачи. Управляемой системой является возраст оборудования. За шаг процесса в данном случае целесообразно принять год планового периода. Под состоянием оборудования подразумевается его возможный возраст. – множество состояний оборудования перед -м годом. Его элементами будут числа 1,2,…,t . – множество решений в отношении оборудования, которые могут быть приняты в начале -го года. Элементы его следующие:1) оборудование сохранить ; 2)оборудование заменить, реализовав старое по остаточной стоимости и приобретя новое по цене .

В данной задаче целесообразно различать два множества состояний оборудования: - множество состояний сразу после выбора управления в -м году и – множество состояний в конце -го года, когда возраст оборудования становится больше на 1 год.

- прибыль в м году в использования оборудования; – условно-оптимальная прибыль от использования оборудования в период с -го по N-й год при условии, что перед -м годом возраст оборудования характеризовался элементом множества и в начале -го года было принято некоторое управление из множества .

Если в начале года выбрано «сохранение», то годовая прибыль от эксплуатации оборудования выражается разностью

,

если выбрана «замена», то прибыль считается по формуле

.

Условно-оптимальное значение целевой функции определяется наибольшим из выражений. Если же оба управления приводят к одному и тому же результату, то целесообразно выбрать «сохранение», так как знакомое оборудование проще эксплуатировать.

Развернем вначале процедуру условной оптимизации, начав ее с последнего года планового периода. По завершении условной оптимизации пройдем процесс в прямом направлении и сформируем оптимальную политику сохранения и замены оборудования.

Рассмотрим задачу следующего содержания. Определить оптимальную политику по отношению к оборудованию возраста не старше 6 лет на плановый период в 4 года. В таблице 20 даны значения годового дохода и эксплуатационных расходов v(t) в зависимости от возраста оборудования t.

Таблица 20. Исходные данные задачи.

t	0	1	2	3	4	5	6
r (t)	27	26	26	25	24	23	21
v (t)	15	15	16	16	16	17	19
z	12	11	10	9	8	6	2

Ликвидационная стоимость старого оборудования S = 4 ден. ед.; цена единицы нового оборудования P = 13 ден. ед. Предположим, что все указанные в качестве исходных данных показатели не меняются в течение четырех лет

Условную оптимизацию начинаем с анализа 4-го года периода (табл. 21).

Таблица 21. Анализ 4-го шага.

x3	u4	x4н	Z4	F4
1	Сохранение Замена	1 0	11 3	11 -
2	С 3	2 0	10 3	10 -
3	С 3	3 0	9 3	9 -
4	С 3	4 0	8 3	8 -
5	С 3	5 0	6 3	6 -
6	С 3	6 0	2 3	- 3

Условная оптимизация двухлетнего периода, состоящего из 3-го и 4-го годов, приводится в таблице 22.

Таблица 22. Анализ 3-го шага.

x2	u3	x3н	Z3	x3	F4	Z3+F4	F3
1	C 3	1 0	11 3	2 1	10 11	21 14	21 -
2	C 3	2 0	10 3	3 1	9 11	19 14	19 -
3	C 3	3 0	9 3	4 1	8 11	17 14	17 -
4	C 3	4 0	8 3	5 1	6 11	14 14	14 -
5	C 3	5 0	6 3	6 1	3 11	9 14	- 14
6	C 3	6 0	2 3	- 1	- 11	- 14	- 14

В остальных таблицах укажем лишь строки, соответствующие условно-оптимальным управлениям ( табл. 23 и табл 24).

Таблица 23. Анализ 2-го шага.

x1	u2	x2н	z2	x2	F3	z2+F3	F2
1 2 3 4 5 6	C C 3 3 3 3	1 2 0 0 0 0	11 10 3 3 3 3	2 3 1 1 1 1	19 17 21 21 21 21	30 27 24 24 24 24	30 27 24 24 24 24

Следует обратить внимание на отличие состава элементов множества в заключительной таблице. В множестве имеется элемент 0. Наличие оборудования нулевого возраста перед началом планового периода объясняется тем, что за рамками планового периода какие-то единицы оборудования было решено заменить, и данное решение было реализовано, то есть старое оборудование продано по остаточной стоимости и новое оборудование приобретено. Следовательно, для этой группы оборудования разница не должна влиять на решения, принимаемые в рамках рассматриваемого четырехлетнего периода.

Таблица 24. Анализ 4-го шага.

x0	u1	x1н	z1	x1	F2	z1+F2	F1
0 1 2 3 4 5 6	C C C C 3 3 3	0 1 2 3 0 0 0	12 11 10 9 3 3 3	1 2 3 4 1 1 1	30 27 24 24 30 30 30	42 38 34 33 33 33 33	42 38 34 33 33 33 33

По завершении условной оптимизации составим матрицу максимальных прибылей, куда включим данные последних столбцов таблиц 21-24. По матрице (табл. 25) достаточно просто определить оптимальную политику на 4 года для оборудования любого возраста, не превышающего 6 лет.

Таблица 25. Матрица для проведения безусловной оптимизации.

Возраст оборудов., t	Максимальная прибыль по годам планового периода
	1-4	2-4	3-4	4
0 1 2 3 4 5 6	42 38 34 33 33 33 33	- 30 27 24 24 24 24	- 21 19 17 14 14 14	- 11 10 9 8 6 3

Курсивом выделены элементы в «области сохранения», обычным шрифтом – в «области замены». Определим, к примеру, оптимальную политику в отношении оборудования, которое имело к началу планового периода возраст 4 года. На пересечении первого столбца и пятой строки (t =4) находим элемент 33, который попадает в область замены. К началу второго года, следовательно, мы будем иметь новое оборудование возраста 1 год, которому соответствует элемент 30 в области сохранения. К началу третьего года возраст данного оборудования составит 2 года и его следует сохранить. К началу 4-го года оборудованию будет 3 года и его следует сохранить. Таким способом можно определить вектор оптимальных управлений для оборудования любого возраста в рамках рассматриваемого четырехлетнего периода.