7.2. Основные характеристики функционирования смо с отказами.

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами, в которой имеется каналов обслуживания. В данную систему поступает поток заявок с интенсивностью . Заявки обслуживаются с показателем интенсивности .

Д ля характеристики такой системы важен показатель , именуемый интенсивностью нагрузки канала . Основные показатели эффективности функционирования СМО есть предельные вероятности определенных состояний системы. Для СМО с отказами наиболее значимы следующие показатели.

- Вероятность того, что все каналы свободны:

- Вероятность того, что занято каналов:

- Вероятность того, что все каналов заняты:

- Вероятность того, что заявка будет обслужена (относительная пропускная способность):

- Абсолютная пропускная способность:

- Среднее число занятых каналов:

Рассмотрим пример задачи на определение показателей эффективности СМО с отказами. Предположим, в справочный отдел с тремя телефонными каналами поступают запросы. Если заняты все три канала, то вновь поступающий звонок не принимается. Среднее время работы с одним звонком 3 мин. Интенсивность потока заявок 0,25 ед.\мин. Определим основные показатели эффективности работы отдела.

По условию, . На основании чего можем определить

П редельные вероятности состояний определяем по формулам:

Р ассчитаем остальные показатели эффективности СМО:

Данные показатели означают следующее. 47,6% времени в отделе нет ни одной заявки. 35,7% имеется одна заявка. 13,4% имеется две заявки. 3,3% времени – три заявки. Следовательно, вероятность отказа (заняты все три канала) – 0,033. Относительная пропускная способность означает, что из каждых 100 заявок отдел обслуживает 96,7. В минуту в среднем обслуживается 0,242 заявки. Среднее число занятых каналов 0,725. Это значит, что каждый канал будет занят обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5:3=24,2%.

7.3. Основные характеристики функционирования смо с очередью.

Рассмотрим основные характеристики функционирования СМО с неограниченной длиной очереди. В таких системах поток заявок поступает извне. Примером подобной системы может служить любое предприятие сферы обслуживания (ателье, магазин, ресторан и т.д.). Эффективность функционирования таких систем определяется следующей совокупностью показателей:

- Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

- Вероятность того, что занято каналов, при условии, что общее количество заявок не превышает числа каналов:

- Вероятность того, что в системе находится заявок при условии, что число заявок больше числа каналов:

- Вероятность того, что все каналы заняты:

- Среднее время ожидания в очереди:

- Средняя длина очереди:

- Среднее число свободных каналов:

- Коэффициент простоя каналов:

- Среднее число занятых каналов:

- Коэффициент загрузки каналов:

Рассмотрим пример вычислений основных показателей эффективности функционирования СМО с неограниченной длиной очереди. Предположим, Фирма по ремонту радиоаппаратуры имеет 5 мастеров. В среднем в фирму поступает 10 заявок на ремонт в день. В среднем в день каждый мастер успевает отремонтировать 2,5 радиоаппарата. За единицу времени принимаем 7-часовой рабочий день.

На основании условия определяем: Определим предельные вероятности состояний системы:

С реднее время обслуживания одного аппарата:

С реднее время ожидания начала обслуживания:

С редняя длина очереди, от которой зависит площадь, необходимая для хранения принятых в ремонт аппаратов:

Среднее число мастеров, свободных от работы:

В СМО с ограниченной длиной очереди поток заявок поступает изнутри системы. Например, в фирме имеется несколько единиц оборудования, которые случайным образом могут выходить из строя и требовать обслуживания в виде ремонта. Максимальное количество заявок на обслуживание в этом случае оказывается фиксированным. Оно обозначается .

Эффективность функционирования таких систем характеризуют следующие показатели.

1. В ероятность того, что занято каналов, при условии, что число заявок не больше числа каналов обслуживания:

2. В ероятность того, что в системе находится заявок при условии, что число заявок больше числа каналов:

3. В ероятность того, что все каналы свободны:

4. С редняя длина очереди:

5. К оэффициент простоя обслуживаемого объекта:

6. С реднее число заявок:

7. С реднее число свободных каналов:

8. К оэффициент простоя обслуживающего канала:

Рассмотрим пример задачи на расчет показателей эффективности функционирования СМО с ограниченной длиной очереди. Рабочий обслуживает группу из трех автоматов. В среднем автоматы требуют обслуживания с интенсивностью 2 авт.\час. На обслуживание одного автомата уходит в среднем 12 мин.

На основании условий определяем:

Вероятности состояний определяем по формулам:

На основании расчетов заполним таблицу 36.

Таблица 36. Показатели эффективности функционирования СМО.

0	0	1,0000	0,2822	0	0
1	0	1,2000	0,3386	0	0,3386
2	1	0,9600	0,2709	0,2707	0,5418
3	2	0,3840	0,1083	0,2166	0,3249
		3,5440	1,0000	0,4875	1,2053

О пределим остальные показатели, используя расчеты, выполненные в таблице 36:

Заключение

В настоящем пособии отражены основные разделы традиционного курса исследования операций, содержание которых представляется автору наиболее важным и ценным с позиций требований, предъявляемых к профессиональной подготовке выпускников экономического факультета РГУ им. И. Канта.

В рамках реализации заявленной во введении цели были рассмотрены основные принципы разработки математических оптимизационных моделей, показаны подходы к их классификации. В соответствии с ранее выбранным принципом изложения в первых разделах пособия рассмотрены детерминированные модели, к числу которых относятся модели линейного и нелинейного (выпуклого) программирования, а также модели динамического программирования. В последующих разделах охарактеризованы вероятностные модели и модели с неопределенностью: математические игры, модели управления запасами и модели систем массового обслуживания.

В каждом разделе пособия автор стремился не только ознакомить читателей с математическим аппаратом, применяемым в моделировании, но и проиллюстрировать его применение на примерах экономических и управленческих ситуаций, требующих принятия решений. Остается надеяться, что такой подход позволил читателям увидеть и оценить возможности выбора оптимальных управленческих решений на основе методов математического программирования и исследования операций.

_{Задания для индивидуальной и самостоятельной работы.}

_{Линейное программирование}

Задание 1.1.

На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции П_j . При ее изготовлении используются ресурсы, объемы запасов которых выражаются величинами . Нормы расходов ресурсов на выпуск одной единицы продукции П_j составляют а_ij. Цена единицы П_j равна с_j денежных единиц. Требуется:

1. симплексным методом найти план выпуска продукции по видам, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;

2. составить математическую модель двойственной задачи и дать ее содержательную экономическую трактовку;

3. найти компоненты оптимального плана двойственной задачи, используя данные заключительной симплексной таблицы исходной задачи;

4. определить целесообразность включения в план выпуска дополнительного вида продукции , для которого даны нормы расхода ресурсов и цена .

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов С_j . В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной . Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной а_ij. Цена единицы j-го продукта равна с_j. Составить смесь, минимальную по стоимости, используя для решения двойственную задачу.

Варианты контрольных заданий
Вариант
#1	1.2		C1	C2	C3	bi
		ci	12	7	9
		a1i	6	5	8	93
		a2i	8	2	3	45
		a3i	7	9	6	70
№2	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	9	24	15			36
		a1i	1	3	0			3	4
		a2i	2	0	4			2	14
		a3i	1	3	2			4	12
#3	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	3	4	2			10
		a1i	1	2	1			2	18
		a2i	2	1	1			3	16
		a3i	1	1	2			1	8
#4	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	7	3	4	2		20
		a1i	2	4	1	5		5	34
		a2i	4	1	4	1		4	16
		a3i	2	3	1	2		7	22
#5	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	3	1	4			8
		a1i	1	2	0			2	1
		a2i	1	1	2			1	2
		a3i	2	0	3			2	1
#6	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	3	4	3	1		25
		a1i	2	4	0	8		7	12
		a2i	7	2	2	6		5	8
		a3i	5	8	4	3		8	48
#7	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	2	6	2	3		7
		a1i	1	3	0	1		2	4
		a2i	2	1	0	0		4	3
		a3i	0	1	4	1		3	3
#8	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	1	1	1			5
		a1i	1	1	0			1	2
		a2i	1	0	2			2	3
		a3i	1	1	1			2	4
#9	1.1		П1	П2	П3	П4	П5	Пe	bi
		ci	3	4	1	3	2	45
		a1i	1	2	3	6	2	2	3
		a2i	2	3	1	6	0	1	5
		a3i	3	1	2	6	4	2	4
#10	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	2	4	1	1		15
		a1i	1	3	0	1		1	4
		a2i	2	1	0	0		2	3
		a3i	0	1	4	1		1	3
#11	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	0,4	0,2	0,5	0,8		8
		a1i	1	2	4	8		4	24
		a2i	3	5	1	0		2	12
		a3i	6	0	3	1		3	35
#12	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	14	6	22			30
		a1i	2	1	6			3	12
		a2i	3	3	9			2	27
		a3i	2	1	2			4	6
#13	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	24	4	8			25
		a1i	4	1	2			5	8
		a2i	6	1	3			8	18
		a3i	6	1	1			3	6
#14	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	20	8	30			40
		a1i	0	2	5			3	5
		a2i	2	4	2			5	4
		a3i	1	0	1			2	2
#15	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	14	6	22			40
		a1i	2	1	6			6	12
		a2i	3	3	9			5	27
		a3i	2	1	2			8	6
#16	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	10	14	12			30
		a1i	4	2	1			4	180
		a2i	3	1	3			5	210
		a3i	1	2	5			8	244
#17	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	3	7	4	2		15
		a1i	1	1	0	2		3	2
		a2i	0	1	1	0		2	2
		a3i	1	0	1	0		4	2
#18	1.1		П1	П2	П3	П4	П5	Пe	bi
		ci	5	2	8	3	6	20
		a1i	1	1	1	2	2	2	3
		a2i	0	1	1	1	2	4	2
		a3i	1	1	0	2	1	7	2
#19	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	120	100	150			150
		a1i	1/6	3/7	1/4			5/9	400
		a2i	1/4	1/7	1/4			2/7	250
		a3i	1/6	1/7	3/8			2/7	200
#20	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	80	100	300			200
		a1i	1	1	1			10	6000
		a2i	1/2	1	5			5	5000
		a3i	1/2	1/2	20			8	9000
#21	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	1	2	3			30
		a1i	6	4	3			7	12
		a2i	5	3	2			12	25
		a3i	4	5	4			9	18
#22	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	2	40	10	15		80
		a1i	1	2	3	1		3	1000
		a2i	2	1	0	0		2	500
		a3i	0	1	4	1		10	1200
#23	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	35	60	63			25
		a1i	10	20	23			15	600
		a2i	1	1	1			1	30
		a3i	5	6	6			3	144
#24	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	18	12	8			20
		a1i	5	7	4			6	24
		a2i	5	2	1			3	10
		a3i	2	1	1			4	6
#25	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	3	4	1			5
		a1i	2	1	0			2	500
		a2i	0	2	1			1	550
		a3i	0	1	0			4	200
#26	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	40	50	100	80		120
		a1i	2,5	2,5	2	1,5		3	100
		a2i	4	10	4	6		9	260
		a3i	8	7	4	10		12	370
#27	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	9	10	16			15
		a1i	18	15	12			27	360
		a2i	6	4	8			9	192
		a3i	5	3	3			7	180
#28	1.2		C1	C2	C3	bi
		ci	8	7	11
		a1i	12	9	6	95
		a2i	11	6	7	70
		a3i	9	11	9	80
#29	1.2		C1	C2	C3	bi
		ci	8	9	11
		a1i	9	7	8	90
		a2i	10	4	5	50
		a3i	7	9	7	65
#30	1.2		C1	C2	C3	bi
		ci	9	6	7
		a1i	7	5	8	70
		a2i	8	2	3	40
		a3i	9	6	7	50
#31	1.2		C1	C2	C3	bi
		ci	50	60
		a1i	2	1		6
		a2i	2	4		12
		a3i	0	4		4
#32	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	8	7	6			30
		a1i	2	3	4			4	150
		a2i	1	4	5			6	180
		a3i	3	4	2			8	120
#33	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	4	3	6	7		35
		a1i	2	1	1	1		8	280
		a2i	1	0	1	1		6	80
		a3i	1	2	1	0		12	250
#34	1.1		П1	П2	П3	П4		Пe	bi
		ci	300	250	450			400
		a1i	15	20	25			18	1200
		a2i	2	3	2,5			4	150
		a3i	35	60	60			50	3000
#35	1.2		C1	C2	C3	bi
		ci	9	6	7
		a1i	7	5	8	70
		a2i	8	2	3	40
		a3i	9	6	7	50
# 36	1.2		C1	C2	C3	bi
		ci	3	4	2
		a1i	1	1	1	7
		a2i	2	0	3	13
		a3i	0	1	2	8
#37	1.2		C1	C2	C3	bi
		ci	1200	150	3000
		a1i	15	2	35	300
		a2i	20	3	60	250
		a3i	25	5	60	450