33. Дайте определение понятия «определенный интеграл», объясните свойства определенного интеграла. Охарактеризуйте способ интегрирования заменой переменной

ОТВЕТ:

Число J называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b], если для любого ε > 0 существует такое n Є N, что для разбиения отрезка [a; b] на равные части n точками и для любого выбора точек: выполняется неравенство:

Свойства определенного интеграла:

1. =b – a; 2. Если f интегрируема на [a,b], то она интегрируема на любом [a*,b*], содержащемся в [a,b]. 3. Пусть a<c<b и функция интегрируема на [a,c] и [c,b], то . 4. Если f и g интегрируемы на [a,b], то f+g также интегрируема на нем и . 5. Пусть функция f интегрируема на [a,b], c=const, тогда cf также интегрируема на [a,b] и . 6. Если f и g интегрируемы на [a,b], то fg также интегрируема на [a,b]. 7. Если f(x) интегрируема на [a,b] и нижняя грань функции ∣f(x)∣  на [a,b] положительна, то и функция 1/f(x)  интегрируема на [a,b]. 8. Если f(x) неотрицательна и интегрируема на [a,b], то . Следствие. Если f и g интегрируемы на [a,b] и для всех x∈[a,b] : f(x)≥g(x) , то . 9. Пусть функция f интегрируема на [a,b], тогда: , ,a<b. 10. Пусть функция f интегрируема на [a,b], тогда ∣f(x)∣  также интегрируема на нем и: ,a<b. Замечание. Если отказаться от условияa<b, то .

Замена переменной в определённом интеграле:

Пусть функция x=φ(t) определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке [α; β], φ(α)=a; φ(β)=b, функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда F(φ(t)) - первообразная для

функции f(φ(t)) ·φ’(t).

, что и требовалось доказать.

Пример:

.

34. Дайте определение понятия «криволинейная трaпеция». Изложите виды расположения плоских фигур в системе координат и проанализируйте формулы для вычисления их площадей

ОТВЕТ:

Криволинейная трапеция — плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

Для нахождения площади криволинейной трапеции пользуются интегралом.

или

Это значит, что площадь криволинейной трапеции можно найти по сумме значений функции y = f(x) взятые через бесконечно малые промежутки по оси Ох на отрезке от a до b

М ожно сказать, что мы разбили криволинейную трапецию на бесконечное число прямоугольников, длина каждого из которых равна ординате функции f(x) через бесконечно малые промежутки по оси Ох на отрезке от a до b, а ширина - бесконечно малому значению х, нашли их площади произведением длины на ширину и сложили. Предел суммы их площадей равен площади криволинейной трапеции.

35. Назовите виды приложений определенного интеграла. Изложите и проанализируйте способы нахождения объема тела вращения вокруг осей координат

36. Дайте определение понятий «ду 1-го порядка», «решение ду 1-го порядка (общего и частного решений)», «задачи Коши». Опишите решение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными

ОТВЕТ:

Уравнение вида F(x; y; y’)=0 называется дифференциальным уравнением (ДУ) 1-го порядка. Где х – независимая переменная; у=у(х) – неизвестная функция; y’ – ее производная.

Нахождение решения ДУ, удовлетворяющего y(x₀)=y₀ называется задачей Коши.

Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция φ(х; С), которая является его решением при .

Частным решением ДУ 1-го порядка называется функция φ(х; С₀) при некотором фиксированном значении С₀ Є R. Иногда это решение является решением соответствующей задачи Коши.

Пример:

xy’ – 2x² = 0

y = x² + C, С Є R – общее решение ДУ.

x·(2x+0) – 2x² = 0

0=0

Если задано начальное условие, например, у(-2)=3 или (-2; 3), то:

3=(-2)² + С

С= -1

у=х²-1 – частное решение ДУ или решение соответствующей задачи Коши.

Решение ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными:

Уравнение вида y’=f(x)·g(y) или f₁(x)·g₁(y)dx+f₂(x)·g₂(y)dy=0 называется ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Пример:

При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln|C₁|: . Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.