Дайте определение понятия «определенный интеграл», объясните свойства определенного интеграла. Охарактеризуйте способ непосредственного интегрирования (формула Ньютона-Лейбница)
ОТВЕТ:
Число
J
называется определенным
интегралом
от функции f(x) на отрезке [a; b], если
для любого ε > 0 существует
такое n
Є N,
что для разбиения отрезка [a; b] на
равные части n
точками и для любого выбора точек: |
выполняется неравенство:
Свойства определенного интеграла:
1.
=b
–
a;
2.
Если f
интегрируема на [a,b],
то она интегрируема на любом [a*,b*],
содержащемся в [a,b].
3.
Пусть a<c<b
и функция интегрируема на [a,c]
и [c,b],
то
.
4.
Если f
и g
интегрируемы на [a,b],
то f+g
также интегрируема на нем и
.
5.
Пусть функция f
интегрируема на [a,b],
c=const,
тогда cf
также
интегрируема на [a,b]
и
.
6.
Если f
и g
интегрируемы на [a,b],
то fg
также интегрируема на [a,b].
7.
Если f(x)
интегрируема на [a,b]
и нижняя грань функции ∣f(x)∣
на [a,b]
положительна, то и функция 1/f(x)
интегрируема на [a,b].
8.
Если f(x)
неотрицательна и интегрируема на [a,b],
то
.
Следствие.
Если f
и g
интегрируемы на [a,b]
и для всех x∈[a,b] :
f(x)≥g(x) ,
то
.
9.
Пусть функция f
интегрируема на [a,b],
тогда:
,
,a<b.
10.
Пусть функция f
интегрируема на [a,b],
тогда ∣f(x)∣
также интегрируема на нем и:
,a<b.
Замечание. Если отказаться от условия
a<b,
то
.
Формула
Ньютона-Лейбница.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и
F(x) - некоторая первообразная функции
f(x),
то
.
Д
ок-во:
Мы установили, что функция
-
первообразная непрерывной f(x). Так как
F(x) – тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C.
Положим в этом равенстве x = a. Так как
,
то в равенстве
переобозначим переменные: для переменной
интегрирования t вернёмся к обозначению
x, верхний предел x обозначим b. Окончательно,
.
Разность
в правой части формулы Ньютона-Лейбница
обозначается специальным символом:
(здесь
читается как "подстановка от a до b"),
поэтому формулу Ньютона -Лейбница обычно
записывают так:
.
Пример:
Дайте определение понятия «определенный интеграл», объясните свойства определенного интеграла. Охарактеризуйте метод интегрирования по частям
ОТВЕТ:
Число J называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b], если для любого ε > 0 существует такое n Є N, что для разбиения отрезка [a; b] на равные части n точками и для любого выбора точек: выполняется неравенство:
Свойства определенного интеграла:
1. =b – a; 2. Если f интегрируема на [a,b], то она интегрируема на любом [a*,b*], содержащемся в [a,b]. 3. Пусть a<c<b и функция интегрируема на [a,c] и [c,b], то . 4. Если f и g интегрируемы на [a,b], то f+g также интегрируема на нем и . 5. Пусть функция f интегрируема на [a,b], c=const, тогда cf также интегрируема на [a,b] и . 6. Если f и g интегрируемы на [a,b], то fg также интегрируема на [a,b]. 7. Если f(x) интегрируема на [a,b] и нижняя грань функции ∣f(x)∣ на [a,b] положительна, то и функция 1/f(x) интегрируема на [a,b]. 8. Если f(x) неотрицательна и интегрируема на [a,b], то . Следствие. Если f и g интегрируемы на [a,b] и для всех x∈[a,b] : f(x)≥g(x) , то . 9. Пусть функция f интегрируема на [a,b], тогда: , ,a<b. 10. Пусть функция f интегрируема на [a,b], тогда ∣f(x)∣ также интегрируема на нем и: ,a<b. Замечание. Если отказаться от условияa<b, то .
Метод интегрирования по частям:
Если
u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые
функции, то
.
Док-во.
Интегрируем равенство (uv)’=u’v+uv’
в пределах от a до b:
.
Ф
ункция
в левом интеграле имеет первообразную
uv, по формуле Ньютона-Лейбница
,
следовательно,
,
откуда и следует доказываемое равенство.
Пример: