Дайте определение понятий «предел функции в точке». Сформулируйте основные теоремы о пределах. Опишите правила вычисления пределов
ОТВЕТ:
Функция f(x) имеет предел A в точке x0, предельной для области определения функции f(x), если для каждой окрестности предела A существует проколотая окрестность точки x0, образ которой при отображении f(x) является подмножеством заданной окрестности точки A.
Основные теоремы о пределах:
б.м. – бесконечно малая последовательность;
б.б. – бесконечно большая последовательность.
Последовательность Хn называется б.м., если ее предел =0 ( ), т.е. Хn=1/n – является б.м. последовательностью.
Т1: Для того, чтобы последовательность Хn сходилась в числу а (Хn→а), необходимо и достаточно, чтобы последовательность Уn= Хn–а была б.м. последовательностью.
Xn=(n+1)/n: → 2; 3/2; 4/3; …; 1001/1000; …
Уn=Xn-a=((n+1)/n) – 1=1/n, где a=1
Последовательность Хn называется б.б., если для любого, сколько угодно большого числа М>0, существует номер n (M), зависящий от М, такой что для любого n>n(M) выполняется неравенство: |Хn|>M.
Xn=n → 1; 2; 3; … - б.б. последовательность;
Xn= -n → -1; -2; -3; … - б.б. последовательность.
Каждая б.б. последовательность является расходящейся.
Т2: Если последовательность Xn является б.м. (Xn≠0), то последовательность yn=1/Xn является б.б. последовательностью. Если последовательность Xn является б.ю. (Xn≠0), то последовательность yn=1/Xn является б.м. последовательностью.
Xn=n → 1; 2; 3; … - б.б. последовательность.
Уn=1/Xn=1/n → 1; ½; 1/3; … - б.м. последовательность.
Последовательность Xn называется ограниченной, если существуют числа m, M, такие что выполнялось неравенство: m<Xn<M для любого n ( n Є N).
Т3: Если последовательность имеет предел, то она является ограниченной. Сходящиеся последовательности содержатся во множестве ограниченных последовательностей. Это условие необходимое (условие ограниченности последовательности), но недостаточное. Т.е. существует ограниченная последовательность, которая предела не имеет.
Xn=(n+1)/n: → 2; 3/2; 4/3; …; 1001/1000; …
и является ограниченной: 1<Xn≤2<3.
Xn=(-1)n → -1 1; -1; 1; … пределов не имеет и является ограниченной: -1≤Xn≤1.
Последовательность Xn называется возрастающей (убывающей), если для любого n ( n Є N) выполняется: Xn≤Xn+1 – возрастающая; или Xn≥Xn+1 – убывающая.
Для таких последовательностей необходимое условие сходимости является достаточным.
Т4: Для того, чтобы монотонная последовательность являлась сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.
Xn=(1+1/n)n : x1=2 → Xn=(3/2)2=9/4=; x3=(4/3)3=64/27…
Правила вычисления пределов:
Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в т.Х0 → и , то выполняются след. правила:
1.
2.
3.
4.
Дайте определение понятий «предел функции на бесконечности». Сформулируйте основные теоремы о пределах. Опишите правила вычисления пределов
ОТВЕТ:
Пусть числовая функция f(x) задана на множестве X, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного δ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка [-δ; +δ]. В этом случае число A называется пределом функции f(x) на бесконечности, если для произвольного положительного числа ε отыщется отвечающее ему положительное число δ такое, что для всех точек, превышающих δ по абсолютному значению, справедливо неравенство: |f(x) - A| < ε.
Основные теоремы о пределах:
б.м. – бесконечно малая последовательность;
б.б. – бесконечно большая последовательность.
Последовательность Хn называется б.м., если ее предел =0 ( ), т.е. Хn=1/n – является б.м. последовательностью.
Т1: Для того, чтобы последовательность Хn сходилась в числу а (Хn→а), необходимо и достаточно, чтобы последовательность Уn= Хn–а была б.м. последовательностью.
Xn=(n+1)/n: → 2; 3/2; 4/3; …; 1001/1000; …
Уn=Xn-a=((n+1)/n) – 1=1/n, где a=1
Последовательность Хn называется б.б., если для любого, сколько угодно большого числа М>0, существует номер n (M), зависящий от М, такой что для любого n>n(M) выполняется неравенство: |Хn|>M.
Xn=n → 1; 2; 3; … - б.б. последовательность;
Xn= -n → -1; -2; -3; … - б.б. последовательность.
Каждая б.б. последовательность является расходящейся.
Т2: Если последовательность Xn является б.м. (Xn≠0), то последовательность yn=1/Xn является б.б. последовательностью. Если последовательность Xn является б.ю. (Xn≠0), то последовательность yn=1/Xn является б.м. последовательностью.
Xn=n → 1; 2; 3; … - б.б. последовательность.
Уn=1/Xn=1/n → 1; ½; 1/3; … - б.м. последовательность.
Последовательность Xn называется ограниченной, если существуют числа m, M, такие что выполнялось неравенство: m<Xn<M для любого n ( n Є N).
Т3: Если последовательность имеет предел, то она является ограниченной. Сходящиеся последовательности содержатся во множестве ограниченных последовательностей. Это условие необходимое (условие ограниченности последовательности), но недостаточное. Т.е. существует ограниченная последовательность, которая предела не имеет.
Xn=(n+1)/n: → 2; 3/2; 4/3; …; 1001/1000; …
и является ограниченной: 1<Xn≤2<3.
Xn=(-1)n → -1 1; -1; 1; … пределов не имеет и является ограниченной: -1≤Xn≤1.
Последовательность Xn называется возрастающей (убывающей), если для любого n ( n Є N) выполняется: Xn≤Xn+1 – возрастающая; или Xn≥Xn+1 – убывающая.
Для таких последовательностей необходимое условие сходимости является достаточным.
Т4: Для того, чтобы монотонная последовательность являлась сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.
Xn=(1+1/n)n : x1=2 → Xn=(3/2)2=9/4=; x3=(4/3)3=64/27…
Правила вычисления пределов:
Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в т.Х0 → и , то выполняются след. правила:
1.
2.
3.
4.