Дайте определение понятий «предел числовой последовательности». Сформулируйте основные теоремы о пределах. Опишите правила вычисления пределов
ОТВЕТ:
Число
a
Є R
называется пределом
числовой последовательности
,
если последовательность
является
бесконечно малой, т. е. все её элементы,
начиная с некоторого, по модулю меньше
любого заранее взятого положительного
числа.
В
случае, если у числовой последовательности
существует предел в виде вещественного
числа
,
её называют сходящейся
к этому числу. В противном случае,
последовательность называют расходящейся.
Если к тому же она неограниченна, то её
предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Основные теоремы о пределах:
б.м. – бесконечно малая последовательность;
б.б. – бесконечно большая последовательность.
Последовательность
Хn
называется б.м.,
если ее предел =0 (
),
т.е. Хn=1/n
– является б.м. последовательностью.
Т1: Для того, чтобы последовательность Хn сходилась в числу а (Хn→а), необходимо и достаточно, чтобы последовательность Уn= Хn–а была б.м. последовательностью.
Xn=(n+1)/n: → 2; 3/2; 4/3; …; 1001/1000; …
Уn=Xn-a=((n+1)/n) – 1=1/n, где a=1
Последовательность Хn называется б.б., если для любого, сколько угодно большого числа М>0, существует номер n (M), зависящий от М, такой что для любого n>n(M) выполняется неравенство: |Хn|>M.
Xn=n → 1; 2; 3; … - б.б. последовательность;
Xn= -n → -1; -2; -3; … - б.б. последовательность.
Каждая б.б. последовательность является расходящейся.
Т2: Если последовательность Xn является б.м. (Xn≠0), то последовательность yn=1/Xn является б.б. последовательностью. Если последовательность Xn является б.ю. (Xn≠0), то последовательность yn=1/Xn является б.м. последовательностью.
Xn=n → 1; 2; 3; … - б.б. последовательность.
Уn=1/Xn=1/n → 1; ½; 1/3; … - б.м. последовательность.
Последовательность
Xn
называется ограниченной,
если существуют числа m,
M,
такие что выполнялось неравенство:
m<Xn<M
для любого n
(
n
Є N).
Т3: Если последовательность имеет предел, то она является ограниченной. Сходящиеся последовательности содержатся во множестве ограниченных последовательностей. Это условие необходимое (условие ограниченности последовательности), но недостаточное. Т.е. существует ограниченная последовательность, которая предела не имеет.
Xn=(n+1)/n: → 2; 3/2; 4/3; …; 1001/1000; …
и
является ограниченной: 1<Xn≤2<3.
Xn=(-1)n → -1 1; -1; 1; … пределов не имеет и является ограниченной: -1≤Xn≤1.
Последовательность Xn называется возрастающей (убывающей), если для любого n ( n Є N) выполняется: Xn≤Xn+1 – возрастающая; или Xn≥Xn+1 – убывающая.
Для таких последовательностей необходимое условие сходимости является достаточным.
Т4: Для того, чтобы монотонная последовательность являлась сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.
Xn=(1+1/n)n : x1=2 → Xn=(3/2)2=9/4=; x3=(4/3)3=64/27…
Правила вычисления пределов:
Если
функции f(x)
и g(x)
имеют пределы в т.Х0
→
и
,
то выполняются след. правила:
1.
2.
3.
4.
