6. Дайте определение понятий «матрица», «размерность матрицы», «элемент матрицы», «индексы элемента матрицы». Опишите операцию умножения матриц, транспонирование матриц

ОТВЕТ:

Матрица – это таблица, которая состоит из m – строк и n – столбцов, элементами которой являются числа:

.

Матрицы обозначаются заглавными буквами, например, матрица А:

А= .

Количество строк (m) и столбцов (n) матрицы задают размер матрицы. Следовательно, размерность нашей матрицы: m×n.

Элементами матрицы являются числа, которые обозначаются строчными буквами с соответствующими индексами элемента матрицы, т.е. a_ij.

Операции над матрицами:

- умножение матриц: произведение матрицы А разности m×k на матрицу В размерности k×n называется матрица С=А·В размерности m×n, элементы которой рассчитываются по правилу: c_ij= a_i1+b_1j+ c_ij= a_i2+b_2j+…+ c_ij= a_ik+b_kj.

A_m×k; B_k×n → C=A·B; m×n → c_ij= a_i1+b_1j+ c_ij= a_i2+b_2j+…+ c_ij= a_ik+b_kj.

Пример:

- транспонирование матриц: матрица, полученная транспонированием матрицы A_m×k, называется матрица размерности n×m, элементы которой рассчитываются по правилу: . Строки (столбцы) матрицы А являются столбцами (строками) матрицы .

П ример:

П олучим:

7. Дайте определение понятий «матрица», «размерность матрицы», «элемент матрицы», «индексы элемента матрицы». Опишите свойства, используемые для преобразования строк матрицы

ОТВЕТ:

Матрица – это таблица, которая состоит из m – строк и n – столбцов, элементами которой являются числа:

.

Матрицы обозначаются заглавными буквами, например, матрица А:

А= .

Количество строк (m) и столбцов (n) матрицы задают размер матрицы. Следовательно, размерность нашей матрицы: m×n.

Элементами матрицы являются числа, которые обозначаются строчными буквами с соответствующими индексами элемента матрицы, т.е. a_ij.

СВОЙСТВА:

1. Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера. Например: (3×2)±( 3×2).

2. Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A.

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

3. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

4. Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

5. Коммутативность сложения: A + B = B + A.

6. Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: AB≠BA. Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

7. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

8. Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{− 1} существует.

(A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T.

8. Дайте определение понятия «определитель второго порядка». Запишите и объясните формулу его вычисления. Продемонстрируйте на примерах вычисление определителей

ОТВЕТ:

Определителем 1-го порядка квадратной матрицы А размерности 1×1 является единственный элемент этой матрицы |А| (определитель матрицы А).

Пример: А_1×1

|А|=det А=|а₁₁|=а₁₁.

(det - детерминант)

Определителем 2-го порядка квадратной матрицы А размерности 2×2 (А_2×2) называется величина, определяемая соотношением: |А|=detА= =а₁₁·а₂₂-а₁₂·а₂₁, т.е. из произведения главной диагонали нужно вычесть произведение элементов побочной диагонали.

Пример: =1·(-4)-(-2)·3=2.