Выскажите общее суждение об упорядоченном множестве. Сформулируйте понятие перестановки из n элементов. Запишите формулу для нахождения числа перестановок. Прокомментируйте правила комбинаторики
ОТВЕТ:
Множество M называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение a<b ("a предшествует b"), обладающее следующими свойствами:
1) между любыми двумя элементами a и b существует одно и только одно из трех соотношений: a = b, a < b, b<a;
2) для любых трех элементов a, b и c из a < b, b < c следует a < c.
Пустое множество считается упорядоченным.
Если a предшествует b, то говорят, что b следует за a и пишут: b > a.
Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения < и >, т. е. вместо a < b писать a > b, и наоборот, то получится новое упорядоченное множество M', порядок которого называется обратным относительно порядка M. Например, для приведенного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок: ..., 3, 2, 1.
Пример упорядоченных множеств:
{1, 2, 3, ...},
{..., 3, 2, 1},
{1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...},
{1, 3, 5, ..., 6, 4, 2},
{..., 5, 3, 1, 2, 4, 6, ...},
{..., 5, 3, 1, ..., 6, 4, 2}.
Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
Формула: Рn=n!=1·2·3·…·(n-1)·n
Пример: Сколькими способами могут разместиться 5 покупателей в очереди в кассу?
Р5=5!=1·2·3·4·5=120.
Правила комбинаторики:
1. Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A1, A2, …, An , содержащих m1, m2, …, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m1 + m2 + … + mn.
Пример. Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.
Пример. Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?
Решение: По правилу суммы получаем 17+13=30 вариантов.
2. Правило произведения: пусть имеется n множеств A1, A2, …, An содержащих m1, m2, …, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а1, а2, ..., аn), где аi Î А i1 (i = 1, 2, …, n), равно m1 · m2 · … · mn.
Пример. Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.
Пример. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
Решение. Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.
Выскажите общее суждение об упорядоченном множестве. Сформулируйте понятие сочетания из n элементов по k элементов. Запишите формулу для нахождения числа сочетаний. Прокомментируйте правила комбинаторики
ОТВЕТ:
Множество M называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение a<b ("a предшествует b"), обладающее следующими свойствами:
1) между любыми двумя элементами a и b существует одно и только одно из трех соотношений: a = b, a < b, b<a;
2) для любых трех элементов a, b и c из a < b, b < c следует a < c.
Пустое множество считается упорядоченным.
Если a предшествует b, то говорят, что b следует за a и пишут: b > a.
Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения < и >, т. е. вместо a < b писать a > b, и наоборот, то получится новое упорядоченное множество M', порядок которого называется обратным относительно порядка M. Например, для приведенного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок: ..., 3, 2, 1.
Пример упорядоченных множеств:
{1, 2, 3, ...},
{..., 3, 2, 1},
{1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...},
{1, 3, 5, ..., 6, 4, 2},
{..., 5, 3, 1, 2, 4, 6, ...},
{..., 5, 3, 1, ..., 6, 4, 2}.
Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
Формула:
Пример: В профсоюзной организации 40 человек. Сколькими способами можно выбрать из них 3-х делегатов на профсоюзную конференцию?
Правила комбинаторики:
1. Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A1, A2, …, An , содержащих m1, m2, …, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m1 + m2 + … + mn.
Пример. Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.
Пример. Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?
Решение: По правилу суммы получаем 17+13=30 вариантов.
2. Правило произведения: пусть имеется n множеств A1, A2, …, An содержащих m1, m2, …, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а1, а2, ..., аn), где аi Î А i1 (i = 1, 2, …, n), равно m1 · m2 · … · mn.
Пример. Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.
Пример. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
Решение. Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.