37. Дайте определение понятий «ду 1-го порядка», «решение ду 1-го порядка (общего и частного решений)», «задачи Коши». Опишите решение однородных ду 1-го порядка

ОТВЕТ:

Уравнение вида F(x; y; y’)=0 называется дифференциальным уравнением (ДУ) 1-го порядка. Где х – независимая переменная; у=у(х) – неизвестная функция; y’ – ее производная.

Нахождение решения ДУ, удовлетворяющего y(x₀)=y₀ называется задачей Коши.

Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция φ(х; С), которая является его решением при .

Частным решением ДУ 1-го порядка называется функция φ(х; С₀) при некотором фиксированном значении С₀ Є R. Иногда это решение является решением соответствующей задачи Коши.

Пример:

xy’ – 2x² = 0

y = x² + C, С Є R – общее решение ДУ.

x·(2x+0) – 2x² = 0

0=0

Если задано начальное условие, например, у(-2)=3 или (-2; 3), то:

3=(-2)² + С

С= -1

у=х²-1 – частное решение ДУ или решение соответствующей задачи Коши.

Решение однородных ДУ 1-го порядка:

Дифференциальное уравнение y’=f(x;y)  называется однородным, если f(x;y) – однородная функция нулевой степени. Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме A(x;y)dx + B(x;y)dy=0 является однородным, если A(x;y), B(x;y)  – однородные функции одной степени. 

Замена y=u·x  приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример:

. Найти решение, удовлетворяющее начальному условию: у(1)=2.

Данное уравнение является однородным. Произведя замену y=u·x , получим: (здесь мы учли, что y’=(u·x)’=u’·x+u).

Сокращаем на х²: .

Учитывая, что , получим:  .

Интегрируем полученное равенство:

.

Обозначая C=–C₁ и учитывая y=ux; u=y/x, получаем ответ: . Для данного начального условия у(1)=2: .

Следовательно, искомое частное решение есть: .

38. Дайте определение понятий «ду 1-го порядка», «решение ду 1-го порядка (общего и частного решений)», «задачи Коши». Опишите решение простейших линейных ду 1-го порядка

ОТВЕТ:

Уравнение вида F(x; y; y’)=0 называется дифференциальным уравнением (ДУ) 1-го порядка. Где х – независимая переменная; у=у(х) – неизвестная функция; y’ – ее производная.

Нахождение решения ДУ, удовлетворяющего y(x₀)=y₀ называется задачей Коши.

Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция φ(х; С), которая является его решением при .

Частным решением ДУ 1-го порядка называется функция φ(х; С₀) при некотором фиксированном значении С₀ Є R. Иногда это решение является решением соответствующей задачи Коши.

Пример:

xy’ – 2x² = 0

y = x² + C, С Є R – общее решение ДУ.

x·(2x+0) – 2x² = 0

0=0

Если задано начальное условие, например, у(-2)=3 или (-2; 3), то:

3=(-2)² + С

С= -1

у=х²-1 – частное решение ДУ или решение соответствующей задачи Коши.

Решение простейших линейных ДУ 1-го порядка:

Дифференциальные уравнения вида y’+a(x)y=b(x)  называются линейными.

Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя. Рассмотрим Метод Бернулли:

Решение уравнения y’+a(x)y=b(x) ищется в виде y=u(x)·v(x). При этой замене получаем:

u’v+uv’+a(x)uv=b(x)

uv’+v’(u’+a(x)u)=b(x). 

Функцию u(x) выбирают из условия u’+a(x)u=0. Полученную функцию u(x) подставляют в уравнение uv’=b(x) (учитываем u’+a(x)u=0), решая которое находят функцию v(x). 

Пример:

Решить уравнение: y’+2xy=xe^-x2. 

Полагая y=uv и учитывая y’=(uv)’=u’v+uv’, получим u’v+uv’+2xuv=xe^-x2. Преобразуем полученное уравнение: uv’+v(u’+2xu)=xe^-x2. Функцию u(x) выберем из условия u’+ 2xu = 0.

Учитывая u’=du/dx, получаем:

(du/dx)+2xu=0

(du/dx)= –2xu

(du/u)= –2xdx.

Интегрируем это равенство:   (см. примечание). 

Подставляя полученный результат: u=e^-x2 в уравнение uv’+v(u’+2xu)=xe^-x2, и учитывая, что при  , получим  .

Сократим последнее равенство на   и учтем  . Учитывая y=uv, ответ будет таким: .

Примечание:

При интегрировании равенства: , получается результат  , откуда следует, что u=e^-x2+C   или u=–e^-x2+C.

Однако в методе Бернулли нас интересует не все множество функций u(x), а лишь одна функция из этого множества. Проще всего принять C=0 и выбрать u=e^-x2+C, тогда u=e^-x2.

39. Дайте определение понятий «ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами», «решение ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами». Опишите решение простейших линейных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

ОТВЕТ:

ДУ вида y’’+py’+gy=f(x), где p и g Є R (числа), называется линейным ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если f(x)=0, то уравнение называется однородным; в противном случае, - неоднородным.

Однородное уравнение второго порядка:

a₂y'' + a₁y' + a₀y = 0 интегрируется следующим образом:

Пусть λ₁, λ₂ — корни характеристического уравнения.

a₂λ² + a₁λ + a₀ = 0, являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта: :

1. При Δ > 0 уравнение имеет два различных вещественных корня:

Общее решение имеет вид:

2. При Δ = 0 — два совпадающих вещественных корня:

Общее решение имеет вид:

y(t) = c₁e^αt + c₂te^αt

3. При Δ < 0 существуют два комплексно сопряженных корня:

Общее решение имеет вид:

y(t) = c₁e^αtcos(βt) + c₂e^αtsin(βt).

Пример1:

y’’+3y’+2y=0

λ²+3λ+2=0

Δ=9 – 8=1

λ_1,2 = (-3±√1)/2=(-3±1)/2

λ₁= -2 и λ₂= -1.

y=C₁e^-2x+C₂e^-x.

Пример2:

y’’+6y’+9y=0

λ²+6λ+9=0

λ_1,2 = (-6±√36-36)/2= (-6±0)/2= -3

λ₀=λ₁=λ₂= -3

y=(C₁+C₂x)e^-3x.

Пример3:

y’’+6y’+10y=0

λ²+6λ+10=0

λ_1,2 = (-6±√36-40)/2= (-6±√-4)/2= (-6±2i)/2= -3 ± 1i

y=(C₁sinx+C₂cosx)e^-3x.

40. Выскажите общее суждение об упорядоченном множестве. Сформулируйте понятие размещения из n элементов по k элементов. Запишите формулу для нахождения числа размещений. Прокомментируйте правила комбинаторики

ОТВЕТ:

Множество M называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение a<b ("a предшествует b"), обладающее следующими свойствами:

1) между любыми двумя элементами a и b существует одно и только одно из трех соотношений: a = b, a < b, b<a;

2) для любых трех элементов a, b и c из a < b, b < c следует a < c.

    Пустое множество считается упорядоченным.

    Если a предшествует b, то говорят, что b следует за a и пишут: b > a.

     Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения < и >, т. е. вместо a < b писать a > b, и наоборот, то получится новое упорядоченное множество M', порядок которого называется обратным относительно порядка M. Например, для приведенного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок: ..., 3, 2, 1.

Пример упорядоченных множеств:

 {1, 2, 3, ...},

 {..., 3, 2, 1},

 {1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...},

 {1, 3, 5, ..., 6, 4, 2},

 {..., 5, 3, 1, 2, 4, 6, ...},

 {..., 5, 3, 1, ..., 6, 4, 2}.

Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Формула:

Пример: Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различных цветов, взятых по 2.

Правила комбинаторики:

1. Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A₁, A₂, …, A_n , содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m₁ + m₂ + … + m_n.

Пример. Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.

Пример. Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение: По правилу суммы получаем 17+13=30 вариантов.

2. Правило произведения: пусть имеется n множеств A₁, A₂, …, A_n содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а₁, а₂, ..., а_n), где а_i Î А _i1 (i = 1, 2, …, n), равно m₁ · m₂ · … · m_n.

Пример. Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Пример. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение. Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.