§ 4 Марковские моменты. Локальные полумартингалы.
4.1. Определение. Отображение
называется марковским моментом,
если
для
.
Конечный марковский момент (Р(
)=1)
называется моментом остановки.
Обозначим
для
всех
}.
Предложение 11.
алгебра.
Доказательство. Очевидно, что: i)
;
ii)
замкнута
относительно операции взятия счетных
пересечений; iii) если
и
,
то
и
следовательно
.
Стало быть,
алгебра.
Примеры: 1)
.
2) Пусть
- случайная последовательность, а
-марковский момент. Определим
,
где
Тогда
измерима.
(Докажите самостоятельно).
3) Пусть
марковский
момент. Действительно
.
Предложение 10.
Пусть
марковский
момент. Тогда 1)
,
2)
Доказательство. 1) Очевидно
.
Поэтому из определения марковского
момента следует, что
.
Второе утверждение очевидно.
4.2. Пусть
марковский
момент относительно фильтрации
.
Предложение 12.
1) Если ,
- марковские моменты, то
min(,),
max(,),
+,
(-)+
max(-,0)
являются марковскими моментами.
2) Если
- марковские моменты и
Р - п. н., то
.
3) Если
- марковские моменты, то
принадлежат
и
.
4) Если
- последовательность марковских моментов.
Тогда
n
,
n
,
n
,
n
,
n
также являются марковскими моментами.
Докажите предложение 12 самостоятельно.
4.3. Определение. Последовательность
называется
остановленной, если
Определение. Последовательность
марковских моментов
называется -локализующей,
если она неубывающая и Р - п. н.
существует
=
n
. Если
,
то
называется локализующей.
4.4. Определение. Последовательность
называется локальным полумартингалом,
если существует локализующая
последовательность
,
такая, что остановленная последовательность
является полумартингалом.
Определение. Последовательность
называется мартингал-разностью,
если существует М(t
|
)
для любого
и М(
)=0
Р - п. н.
Из этого определения следует утверждение.
Предложение 13.
Последовательность
,
где
является мартингалом (относительно
меры Р) тогда и только тогда, когда
является мартингал разностью.
4.5. Лемма 14.
Пусть
- локальный мартингал с
и
либо
.
Тогда
- мартингал.
Доказательство. Сначала покажем,
что если выполнено
,
то
и следовательно
,
для
.
Действительно. Пусть
- локализующая последовательность,
тогда в силу леммы Фату имеем
М
= М
М
=
М[
+
]
=
+
М
|
|
+
< .
Поэтому
.
Заметим, что: а) |
|
;
б) M
<.
Из того, что
- локальный мартингал, следует М(
|
)=
Р
- п. н.. Воспользуемся теперь теоремой
Лебега (о мажорируемой сходимости), в
последнем равенстве имеем
Р - п.н..
Доказательство закончено.
Следствие 15. Всякий локальный мартингал ограниченный сверху (снизу) является мартингалом.
Теорема 16.
Пусть
- локальный мартингал (относительно
меры Р). Тогда последовательность
является супермартингалом (относительно
меры Р).
Доказательство. В силу условий
существует локализующая последовательность
марковских моментов
такая, что
P - п. н., причем
Р - п. н. Поэтому в силу леммы Фату,
имеем P - п. н.
=
=
M(
|
)
=
=
.
Доказательство закончено.