§ 3 Мартингалы, супермартингалы, субмартингалы.
3.1. Пусть (
,
,
,Р)
– стохастический базис, последовательность
{
- согласована с потоком
,
и принимает значения в
.
Определение. Последовательность
(
,
)t>1
называется мартингалом,
если:
1)
,
2)
Если выполнено 1) и
Р -п. н., то последовательность
(
,
)t>0
называется супермартингалом.
Если выполнено 1) и
Р - п. н., то последовательность (
,
)t>0
называется субмартингалом.
Пример. Пусть
,
где
независимые в совокупности случайные
величины. Пусть
,
.
Ясно, что
=
=
+
+
+
.
Отсюда следует, что:
а) (
,
)t>1-
мартингал, если
для
любого t;
б) (
,
)t>1-
супермартингал, если
для
любого t;
в) (
,
)t>1-
субмартингал, если
для
любого t;
Утверждение 5. Если (
,
)t>0–
марковская случайная последовательность
с переходной вероятностью P(s,
,t,B),
то
P(s,
t,B)
– мартингал для
,
относительно потока
алгебр
и меры Р.
Доказательство. Из соотношения
Чепмена – Колмогорова имеем
Р-п.
н. при
:
M(P(u,
,t,B)|
)=M(P(u,
,t,B)|
)
=
.
3.2. Теорема 6
(Дуба). Пусть (
,
)t>0
– неотрицательный супермартингал,
тогда с вероятностью 1 существует
.
Замечания. 1) Покажем, что
предложения о неотрицательности
супермартингала (
,
)t>0
можно отказаться. Очевидно, что М
М
,
т.е. в среднем последовательность
-
убывает. Пусть
Образуем новую последовательность
.
Понятно, что
.Тогда
,
значит любой супермартингал представим
в виде разности двух неотрицательных
супермартингалов.
2) Если
- супермартингал, то
- субмартингал. Поэтому утверждение
теоремы 6 верно и для субмартингалов.
3.2.1 Доказательство теоремы Дуба опирается на две вспомогательные леммы.
Пусть
числовая
последовательность, a<b,
[a,b]
– отрезок. Обозначим
- число пересечений отрезка [a,b]
последовательностью
снизу вверх.
Лемма 7 (О числе пересечений отрезка [a,b] снизу вверх).
Справедливо неравенство:
,
где
Доказательство. Обозначим
,
,
,
,
,
Очевидно, что
Отсюда следует, что
(b-a)
=
.
Докзательство закончено.
Лемма 8. (О среднем числе пересечений).
Пусть (
,
)t>0–
неотрицательный супермартингал, тогда
М
.
Доказательство. В силу леммы 7 имеем неравенство:
.
Так как (
,
)t>0
- супермартингал, то М(
)
≤ 0. Отсюда следует неравенство
.
Доказательство закончено.
3.2.2. Доказательство теоремы 6.
Предположим, что у последовательности
не существует конечного предела. Через
В обозначим множество
не имеет конечного предела}. Наше
предположение выполнено, если:
1)
Р - п. н.,
2)
Р - п. н.
Обозначим: А
},
C=
}.
Очевидно, что
,
поэтому
.
Значит для доказательства теоремы
достаточно доказать, что Р(А) =0
и Р(С)=0.
Покажем, что Р(А)=0. В силу
неравенства Чебышева и леммы Фату имеем
Р(
.
Устремляя теперь
,
получаем Р(А)=0.
Теперь докажем, что Р(С)=0. Заметим, что
,
где
и
- рациональные числа}=
=
.
Рассмотрим вероятность
Р(
N)
в силу неравенства Чебышева и леммы 8
мы имеем:
Р(
N)
.
Устремляя теперь
,
получаем неравенство
Р(
N)
.
Отсюда следует, что Р(
,
т.е.Р(С)=0.
Доказательство закончено.
3.3. Определение. Мартингал
называется равномерно интегрируемым,
если
.
Теорема 9. Пусть
равномерно интегрируемый мартингал,
тогда Р -п.н. существует случайная
величина
такая, что:
а)
=
Р - п. н.,
б)
М|
-
Р - п. н.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы 6.