55

Глава 2. Случайные последовательности.

§ 1 Основные определения.

1.1. Пусть – измеримое пространство, кроме того, положим, что на выделено семейство алгебр {_n}_n>0 , обладающих свойствами:

а) для любого ;

б) для любых и ;

в)

Определение. Семейство алгебр на , обладающих свойствами а), б), в) будем называть потоком алгебр или фильтрацией. Измеримое пространство (,) с выделенной фильтрацией будем называть фильтрованным измеримым пространством и обозначать через (,,).

Определение. Фильтрованным вероятностным пространством или стохастическим базисом называется четверка (,,, Р), где Р – вероятностная мера на фильтрованном измеримом пространстве, причем – пополнена множествами нулевой меры Р.

Замечание. Напомним, – пополнена множествами нулевой меры Р. Пусть любой элемент В, N_p {A F: P(A) = 0} и к В добавим N_p, т.е. . С помощью множеств построим новую алгебру, обозначаемую . Ясно, что содержит - алгебра, её называют пополнением относительно меры Р.

Определение. Будем говорить, что последовательность {со значениями в измеримом пространстве согласована с фильтрацией , если при каждом n она - измерима , т.е. { для любого ВE, и для нее будем использовать обозначение (,)_n>1.

1.2. Пусть на стохастическом базисе (,,,Р) задана согласованная последовательность {. Введем обозначения: а) = алгебру, порожденную , б) =, в) =эту алгебру называют обычно хвостовой.Очевидно, что - - измерима.

1.3. Определение. Последовательность (,)_n>0 называется марковской, если Р - п. н. для любого

Р(В|) = P(B|), (1)

где .

1.3.1 Замечание. В силу теоремы 11 главы 1 (теоремы Бореля) существуют для борелевские функции , где и такие, что Р - п. н. Р(В|) = , P(B|) = . Поэтому (1) можно переписать в виде Р - п. н.

.

1.4. Определение. Пусть Р: , обозначаемая через P(s,,t,B), s<t, называемая переходной вероятностью (вероятностью перехода) если :

1) при фиксированных s,t,B P(- измеримая функция;

2) при фиксированных s,t,x P( вероятностная мера на .

Определение. Будем говорить, что {Р(s,,t,B)}-семейство переходных вероятностей марковского процесса (,)_{t>0 ,}если Р(s,,t,B)= P) Р - п. н. для любых s,t,B.

Теорема 1 (Чепмен-Колмогоров). Пусть (,)_t>0 – марковская последовательность, а {Р(s,,t,B)} – соответствующее ей семейство переходных вероятностей. Тогда для любых справедливо равенство

Р(s,,t,B) = . (2)

Доказательство. Пусть , тогда Р -п.н. Р(s,,t,B) = P) = P() = M()=M[M()|]=M[P()|]= =M[P]=)P

Доказательство закончено.

§ 2 Существование случайных последовательностей.

2.1. Чтобы построить случайную последовательность, надо сконструировать вероятностную меру на его траекториях. Существует два подхода к решению этой проблемы:

1) основанный на переходных вероятностях;

2) основанный на непосредственном задании случайного процесса.

2.2. В данном пункте мы построим марковский процесс (с дискретным временем) с помощью переходных вероятностей. Без ограничения общности, можно считать, что = ().

Пусть задано семейство переходных вероятностей {Р(s,t,B)} и справедливо соотношение Чепмена – Колмогорова. Предположим еще, что задана также вероятностная мера на . Тогда существует вероятностное пространство и случайная последовательность (,)_t>0 на нем такие, что для любых .

Таким образом определенный марковский процесс (,)_t>0 называют марковским процессом с начальным распределением и семейством переходных вероятностей {Р(s,t,B)}. Это построение обобщает следующая теорема о существовании случайной последовательности.

Теорема 2. (Ионеску-Тулчи). Пусть - произвольные измеримые пространства и , а . Пусть на () задана вероятностная мера Р₁ и для каждого набора на заданы вероятностные меры Р, которые для каждого В являются борелевскими функциями от ), причем для любых

.

Тогда на существуют: 1) единственная вероятностная мера Р такая, что для любого

(3)

2) случайная последовательность Х=такая, что

(4)

Доказательство этого утверждения читатель может найти в ряде известных руководств [1,3].

Пример: Пусть ={1,2,…}, Р_к(x,y) – семейство неотрицательных функций , x,y, таких, что Пусть распределение вероятностей на (). Тогда существуют и семейство случайных величин Х={ на нем таких, что

P(

В качестве элементов Ω можно взять . Такая последовательность случайных величин Х={ называется марковской цепью со счетным множеством состояний и матрицей переходных вероятностей {Р_к(x,y)}, и начальным распределением

2.3. В данном пункте мы приведем методику непосредственного задания марковской случайной последовательности.

Пусть Ф: измеримая по Борелю функция, обозначаемая через Ф(t,x,y), где и – полные, сепарабельные, метрические пространства. Последовательность {X_t}_t>0 со значениями определим с помощью рекуррентного соотношения

, , (5)

где (последовательность случайных элементов, принимающая значения в . Соотношение (5) называется процессом, определенным рекуррентно. Положим, что - нормированное пространство с нормой . Возникают два вопроса:

1) является ли X_t для любого t измеримым;

2) | Р - п. н.

Определение. Под сильным решением процесса, определенного рекуррентно, будем понимать последовательность измеримую относительно алгебры такую, что : а) Р( |)=1; б) она обращает (5) в тождество с вероятностью 1.

Определение. Будем говорить, что (5) имеет единственное сильное решение, если из того что существуют i=1,2 – два сильных решения соотношения (5), причем (т.е. они начинаются из одной точки), то Р(для любого

Теорема 3. Пусть Ф: , где – линейное нормированное пространство, удовлетворяющее условиям:

1) ||Ф(t,x,y) – Ф(t,z,y)||

2) ||Ф(t,0,y)|| .

Тогда: а) если выполнено 1), то решение (5) единственно; б) если выполнены 1) и 2) и Р - п. н. , то существует сильное решение (5).

Замечание 1. Поясним смысл условий теоремы 3. Очевидны неравенства:

||Ф(t,x,y)|| = ||Ф(t,0,y)+ Ф(t,x,y)- Ф(t,0,y)||||Ф(t,0,y)||+ ||Ф(t,x,y) - Ф(t,0,y)|| L+L||x|| = L(1+||x||) ( т.е. допустим рост по х не быстрее, чем линейный).

Доказательство. а) Пусть имеются два сильных решения, начинающихся на одной точке , имеем Р - п. н.

Значит, Р - п. н. для .

б) Заметим,

Следовательно, если Р - п. н. – конечно, то Р-п. н.

Замечания. 1) Пусть удовлетворяет (5), и Если (5) имеет единственное сильное решение, то справедливо Р - п. н. для

2) Обозначим Р(s,,t,B) = P(t,,B) – переходную вероятность за один шаг. Из соотношения Чепмена-Колмогорова следует, чтобы построить переходную вероятность за t шагов, достаточно знать переходную вероятность за один шаг.

2.4. Установим условия, выполнение которых гарантирует, что процесс, определенный рекуррентно, является марковским.

Теорема 4. Пусть выполняются условия: 1) рекуррентное соотношение (5) имеет единственное сильное решение, 2) последовательность независимых в совокупности случайных величин (со значениями в ), 3) не зависит от . Тогда 1) последовательность - -измерима при каждом t и - марковская, 2) переходная вероятность за один шаг имеет вид

Доказательство. Нам надо доказать, что Р - п. н.

.

Рассмотрим сначала левую часть этого равенства в силу замечания 1.3.1 Р-п.н. =. Так как - сильное решение (5), то -измеримо, то по теореме Бореля для каждого t существуют функции такие, что Р - п. н. . Поэтому, в силу условий 2), 3) имеем Р - п. н.

== =

= = .

Отсюда следует, что Доказательство закончено.

2.5. Примеры процессов, определенных рекуррентно.

1) Пусть =0, где -последовательность независимых (в совокупности) величин. В силу теоремы 4 является марковской последовательностью.

2) Дискретная модель диффузии. Рассмотрим рекуррентное соотношение:

, (6)

где - измеримые по Борелю функции, - последовательность независимых в совокупности случайных величин, причем . (6) имеет единственное сильное решение, если выполнены условия:

а)

б)

Пусть , а В этом случае удовлетворяет рекуррентному соотношению

, . (7)

Покажем, что , причем

, ;

Действительно. Обозначим , из рекуррентного соотношения (7) следует

М[]==.

Ясно, что . Из определения дисперсии имеем . Получили рекуррентное соотношение для . Рассмотрим разность , имеем из (7): ==

Возведем в квадрат левую и правую части последнего равенства, а затем возьмем математическое ожидание от левой и правой частей, имеем из получившегося равенства:

=

Так как , то отсюда следует, что

.

Покажем, что - гауссовская последовательность. Доказательство проведём по индукции. Пусть - гауссовская случайная величина. Очевидно, что тоже гауссовская. Действительно, так как сумма двух гауссовских величин есть гауссовская величина, то гауссовская случайная величина. Таким образом основной шаг индукции установлен, а с ним доказано утверждение.