§ 8. Сходимость в пространстве Lp.

8.1. Определение. Множество действительных случайных величин таких, что при и , при обозначим через и в этом случае будем писать ,. Отметим, что при является банаховым пространством относительно нормы: , при , , при .

Из этих определений следует, что : а) , если ; б) - является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения , где .

8.2. Определение. Пусть - последовательность случайных величин такая, что . Будем говорить, что сходится в среднем порядка р к случайной величине , если и использовать обозначение .

В частности, если: 1) р=1 и , то говорят, что сходится к в среднем; 2) р=2 и , то говорят, что сходится к в среднеквадратическом смысле и обозначают ; 3) при р = сходимость называется существенно равномерной.

8.3. Приведем теперь без доказательства критерий Коши сходимости в .

Теорема 30. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:

1) - сходящаяся в последовательность,

2) при .

8.4. Из результатов §7 следует утверждение.

Теорема 31. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:

1. последовательность - равномерно интегрируема и ;

2. и .

Доказательство этого утверждения следует из неравенства и теоремы 26.

8.5. Из теоремы 31 вытекают следующие утверждения.

Следствие 32. Пусть выполнены условия теоремы 31. Пусть существует мажорирующая Р-п.н. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) ;

2) и .

Следствие 33. 1) Пусть и , тогда .

2) Пусть и , тогда .

8.6. Опишем теперь слабую сходимость в .

Определение. Последовательность с называется слабо сходящейся в к случайной величине с , если для любой ограниченной случайной величины справедливо равенство .

Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в , если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.

Теорема 34. Для того чтобы последовательность случайных величин с была слабо компактной в необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.

§ 9. Сходимость по распределению.

9.1. Пусть на (Ω,F,P) задана последовательность случайных элементов со значениями в , где E - польское пространство, т.е. полное сепарабельное метрическое пространство, а алгебра на E.

Определение. Будем говорить, что - последовательность случайных элементов со значениями в E сходится по распределению при к случайному элементу со значениями в E и обозначать , если для любой функции С_b(E), где С_b(E) - пространство непрерывных ограниченных на E функций со значениями в R¹, справедливо () = M().

Определение. Семейство вероятностных мер на называется слабо сходящимся к некоторой мере P₀ и обозначается P_n P₀ , если для любой С_b(E)

= .

Из этих определений вытекает утверждение.

Теорема 35. Пусть - семейство случайных элементов, а соответствующее им семейство распределений , тогда и только тогда, когда P_n P_о , т.е. () = M(), для С_b(E).

9.2. Определение. Семейство вероятностных мер {P_n}_n>1 на называется относительно компактным, если оно содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере Р.

Определение. Семейство вероятностных мер {P_n}_n>1 называется плотным, если для любого >0 существует компакт E такой, что Р_n( < .

Приведем достаточное условие плотности семейства {P_n}_n>1.

Предложение 36. Если последовательность случайных величин , где >0, равномерно интегрируема, то семейство {P_n}_n>1 плотно.

9.3. Следующее утверждение играет фундаментальную роль в теории слабой сходимости.

Теорема 37 (Прохоров) Пусть {P_n}_n>1 – семейство вероятностных мер на . {P_n}_n>1 – относительно компактно тогда и только тогда, когда оно является плотным. (без доказательства).

9.4. Теорема 38. Справедливы следующие импликации:

1) , 2) ,

3) .

Доказательство этого утверждения можно найти например в [ 1 ].