§6 Точечные случайные процессы. Формула Ито для считающих процессов. Компенсаторы.

6.1. Определение. Пусть на стохастическом базисе задана последова­тельность марковских моментов, которую мы будем называть точечным процессом, если выполняются условия: а),

б) Р - п. н. для , в) существует Р - п. н.

Точечный процесс часто называют моновариантным процессом, процессом накопле­ния или считающим процессом. Это связано со следующим обстоятельством.

Определим процесс следующим образом: , где - последовательность марковских моментов, фигурирующая в определении то­чечного процесса, и назовем его считающим процессом. Ясно, что процесс согласо­ван с фильтрацией, имеет кусочно-постоянные траектории, которые непрерывны справа и имеют левый предел. Поэтому в силу теоремы 19 он опционален и имеет конечное число скачков () нa конечном интервале. Из определения счита­ющего процесса следует, что для и при , поэтому он имеет:

а) ограниченную вариацию, б) является субмартингалом так как . Из сказанного выше следует, что между точечным и считающим процессом существует взаимно однозначное соответствие, так как - опциональные марковские моменты обладают следующими свойствами: а) , б) Р - п. н. для ,

в) существует Р - п. н. Так как - субмартингал, то в силу теоремы Дуба - Мейера справедливо единственное разложение

Р - п. н. для , где - предсказуемый возрастающий процесс, а - мартингал, относительно меры Р.

6.2. Определение. Предсказуемый возрастающий процесс назовём - компенсатором считающего случайного процесса , если - мартингал относительно потока и меры Р.

Пример. Пусть - пуассоновский процесс с интенсивностью. Тогда его компенсатором является процесс.

6.3. Для формулировки дальнейших результатов нам понадобится конструкция интеграла Римана - Стилтьеса. Напомним ее. Пусть - непрерывная слева функция, а - непрерывная справа функция ограниченной вариации. Пусть - разбиение отрезка [0,T], т. е., причём при . Составим интегральную сумму. Если при

эта сумма стремиться к некоторому пределу, не зависящему от выбора способа разбиения отрезка [0,T], то этот предел называется интегралом Римана - Стилтьеса функции  по функции ограниченной вариации  и обозначается символом . Очевидно следующее утверждение.

Теорема 25. Если - предсказуемая функция на [0,T], а , то интеграл Римана - Стилтьеса существует.

Приведём без доказательства ряд свойств этого интеграла:

1) ;

2) если , где , то;

3) если , где - предсказуемые функции, а , то ;

4) .

6.4. Перейдем теперь к формулировке формулы Ито для считающего процесса.

Теорема 26. Пусть - измеримая ограниченная функция, a - считающий процесс. Тогда P - п. н.

, (4)

где интеграл, стоящий в правой части (4), понимается в смысле Римана - Стилтьеса.

Доказательство. - это марковские моменты , которые исчерпывают скачки процесса . Так как траектории процесса кусочнопостоянны, то справедливы равенства:

.

Учтем, что , имеем

.

Так как , гдe , то процесс - предсказуем. В результате имеем (4). Доказательство закончено.

Пример (применения формулы Ито). Вычислим интеграл Римана - Стилтьеса .

Пусть. Из (4) имеем .

Отсюда следует, что .

6.5. Определение. Квадратической вариацией опционального процесса , обозначаемая через называется случайный процесс .

Если , то квадратическая вариация процесса является субмартингалом относительно меры Р и потока . Действительно, если , то. Отсюда P - п.н. Поэтому, в силу теоремы Дуба - Мейера существует единственный предсказуемый процесс, обозначаемый через называется характеристикой такой, что является мартингалом относительно меры Р и потока .

Пример. Вычислим квадратическую вариацию и характеристику точечного процесса .

1) . Так как , то имеем .

2), где - компенсатор точечного процесса .

6.6. Определение. Взаимной вариацией опциональных процессов и , обозначаемая , называется опциональный процесс, определяемый равенством .

Теорема 27. Пусть существуют и. Тогда существует .

Доказательство следует из равенства

.

Следствие 28. Пусть имеется два опциональных процесса, имеющих ограниченную вариацию и. Тогда справедливо равенство P - п.н. .

Докажите самостоятельно.

6.7. Определение. Взаимной характеристикой квадратично-интегрируемых мартингалов и (относительно потока и меры Р) называется предсказуемый случайный процесс обозначаемый через такой, что является мартингалом относительно потока и меры Р.

Заметим, что существование процесса следует из теоремы Дуба - Мейера.