Замечание. Неупреждающие функции часто называют функциями, не зависящими от будущего.

2.3. Определение. Функция называется простой, если для конечного разбиения отрезка [0,T] существуют

случайные величины , где -измерима, а -измерима, , такие, что где

Для простых функций стохастический интеграл определяем равенством

и, так как , то

P- п. н.

Для стохастического интеграла от простой функции будем использовать также обозначение .

Очевидно, что

,

где

Отметим, теперь основные свойства стохастических интегралов от простых функций:

1. P- п. н..

2. P- п. н. при

3. - P- п. н. непрерывная по t функция,

4. P- п. н.,

5. P- п. н., где простые функции.

Действительно, так как , то имеем

(9)

Рассмотрим первую сумму правой части равенства (9), в силу свойства K^* условного математического ожидания (смотри §12 главы 1) и свойства iii) винеровского процесса, имеем

.

Поэтому, имеем

(10)

Рассмотрим вторую сумму правой части (9). Воспользуемся опять свойством K^* условного математического ожидания и свойствами винеровского процесса, имеем учитывая, что

Здесь мы учли тот факт, является мартингалом относительно меры Р. Значит

. (11)

Таким образом утверждение следует из равенств (9) – (11)

6. Если для всех, то P-п.н. для любого.

7. Процесс - прогрессивно измерим. Это утверждение следует из теоремы 1 главы 3 и, в частности, -измерим при каждом .

8. .

Действительно, из определения стохастического интеграла от простой функции имеем:

Заметим, что для любого j в силу -измеримости , имеем

Отсюда следует утверждение.

2.4. Определим стохастический интеграл для функции из класса .

Лемма 8. Пусть функция . Тогда найдется последовательность простых функций таких, что при . Доказательство. Сначала сделаем несколько замечаний.

1) Без ограничения общности можно считать функцию ограниченной, т.е. P- п. н. для . В противном случае можно перейти от к функциям , где

и использовать тот факт, что при .

2) Пусть . Если , то сразу можно считать, что функция - финитна по t.

3) Если функция - непрерывна по t P- п. н. почти наверно, то последовательность простых функций строится просто, например, можно положить при . Тогда доказательство леммы следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

4) Если функция - прогрессивно измерима, то последовательность аппроксимирующих функций можно построить следующим образом. Пусть - интеграл Лебега. В силу прогрессивной измеримости процесс , измерим и при каждом t случайные величины - измеримы. Положим .

Случайный процесс , измерим, является неупреждающим и имеет P- п. н. непрерывные траектории. Поэтому, согласно пункту 3), сделанных выше замечаний, существует последовательность неупреждающих ступенчатых функций , такая, что при . Заметим, что P- п. н. для почти всех существует производная , причем в тех точках, где существует P- п. н. Поэтому для почти всех (по мере ) по теореме Лебега о мажорируемой сходимости, имеем

при .

5) Докажем теперь лемму в общем случае. Доопределим функцию для отрицательных , полагая при . Пусть -ограничена и финитна. Положим . Заметим, что функция является при каждом фиксированном простой. Лемма будет доказана, если показать, что можно выбрать точку таким образом, что будет выполнено при .

Для этого воспользуемся следующим замечанием: если , -измеримая, ограниченная функция, то . Действительно, согласно пункту 4), для всякого найдется почти всюду такая непрерывная функция , что

(12).

Тогда в силу неравенства Минковского, имеем

.

Отсюда в силу произвольности , следует (12). Из (12) вытекает также, что для

и, в частности,

,

Из последнего равенства следует, что существует такая подпоследовательность чисел , что для почти всех (по мере )

Отсюда, переходя к новым переменным , получим, что для почти всех (по мере ) при и, значит, найдется такая точка , что

Доказательство закончено.

2.3.1. Замечание. Доказательство леммы 8, приведенное выше, имеет ту ценность, что указывает способ построения простых функций непосредственно по .

2.4. Итак, пусть . Тогда, в силу леммы 8, существует последовательность такая, что . Следовательно,

.

Таким образом, последовательность фундаментальна в смысле сходимости в среднеквадратическом, т. е. . Значение этого предела, как нетрудно увидеть, не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. Следовательно, определение стохастического интеграла корректно.

2.5. Свойства стохастических интегралов. Пусть .

1) , где

2) Р - п. н., где ,

3) Р - п. н. при.

4) -непрерывная функция t Р - п. н..

5) Р - п. н. при .

6) .

7) Если для всех и , то Р -п. н. для ;

8) Процесс - прогрессивно измерим и, в частности, - измерим при каждом .

9) Процесс - квадратично интегрируемый мартингал с непрерывными траекториями.

2.6. Для построения стохастических интегралов для неупреждающих функций из класса нам понадобятся 2 вспомогательные леммы.

2.6.1. Лемма 9. 1) Пусть .Тогда найдётся последовательность простых функций такая, что по вероятности

. (13).

2) Cуществует последовательность простых функций , где для, для которых (13) выполнено как в смысле сходимости по вероятности, так и с вероятностью единица.

Доказательство этой леммы основано на использовании леммы 8, неравенства Чебышёва и леммы Бореля-Кантелли. Из-за громоздкости доказательства его не приводим.

2.6.2. Лемма 10. Пусть  и событие . Тогда

,

в частности

.

Доказательство. Пусть , где

, .

Используя свойство 6) стохастических интегралов, имеем

.

В соответствии со свойствами стохастических интегралов справедливо включение

.

Поэтому для _T, имеем

.

Воспользуемся неравенством Колмогорова (теорема 8 главы 3)

,

в силу которого имеем

Доказательство закончено.

2.6.3. Замечание. Утверждения лемм 8, 9, 10 остаются справедливыми, если в их формулировках момент Т заменить на марковский момент , потребовав при этом, чтобы в них , соответственно.

2.7. С помощью лемм 9 и 10 легко сконструировать стохастический интеграл для неупреждающей функции из класса .

Пусть , аппроксимирующие функцию в смысле леммы 9. Тогда очевидно, что для любого

Согласно лемме 10 для любых и

Поэтому в силу произвольности получаем

.

Таким образом, последовательность случайных величин сходится по вероятности к некоторой случайной величине, которую мы обозначим через и назовём стохастическим интегралом от функции по винеровскому процессу .

В заключение заметим, легко показать, что значение с точностью до множеств нулевой меры Р не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.