Глава 6 Стохастические интегралы. Стохастические уравнения.
Введение.
В данной главе мы рассмотрим стохастические уравнения, которые соответствуют диффузионным процессам. Здесь мы излагаем теорию одномерных стохастических уравнений, тем не менее, все результаты, составляющие содержание этой главы, легко переносятся на многомерный случай.
§1 Винеровский процесс и его свойства.
1.1.
Определение.
Случайный процесс
,
определенный на стохастическом базисе
со значениями в R1
называется винеровским
процессом,
если он обладает следующими свойствами:
i)
P-
п. н.
ii)
для любого разбиения
отрезка
,
приращения независимы в совокупности,
iii)
случайные величины
имеют нормальное распределение с
параметрами: нулевое математическое
ожидание и дисперсией
,
т.е.
,
iv)
траектории
процесса
- непрерывны.
Теорема 1. Винеровский процесс существует.
Доказательство теоремы опирается на два вспомогательных утверждения
1.1.1.
Лемма 2.
Пусть
последовательность гауссовских случайных
величин такая, что существует
.Тогда X-гауссовская
случайная величина.
Доказательство.
Обозначим
.
Тогда, в силу свойства гауссовости
последовательности
,
имеем
Пусть любые
,а
,
тогда имеем
Отсюда
следует, что
Поэтому
Значит,
,
так как
и
,
при
т.е.
.
Доказательство закончено.
1.1.2.
Лемма 3.
Пусть
.
Пусть
,
,
причем
.
Тогда справедливо равенство
.
Доказательство утверждения леммы следует из формулы интегрирования по частям.
1.1.3.
Доказательство
(теоремы 1)
Пусть
-
пространство измеримых квадратично
интегрируемых относительно меры Лебега
функций, заданных на отрезке [0,1] со
значениями в
.
Пусть
- ортонормированное семейство функций
в
,
т.е.
,
где
- символ
Кронекера. Обозначим
.
Пусть
–
счетное семейство независимых в
совокупности стандартных нормальных
случайных величин. Для доказательства
теоремы достаточно доказать, что ряд
P-
п. н. cходится
для любого t
и обладает свойствами i)-iv).
Пусть
. Очевидно, что:
1)
;
2)
,
где
- скалярное
произведение в
;
3)
;
4)
,
где
- норма в
.
Обозначим
.
Очевидно, что:
1)
для любого
-
гауссовская случайная величина, причем
для любых n;
(1)
Отсюда
следует, что
- квадратично интегрируем. Рассмотрим
,
причем без ограничения общности можно
считать, что
.
В силу (1), имеем
Стало
быть, справедлив критерий Коши. Поэтому
в среднеквадратичном смысле сходится
к некоторой
,
т.е.
для любого
,
причем в силу леммы 2 случайная величина
имеет гауссовское распределение.
Построенный процесс обладает свойствами.
-
; -
Траектории
-
непрерывны.
Действительно,
в силу леммы 3 имеем
,
отсюда в силу теоремы 2 главы 3 получаем
утверждение.
-
(следует
из леммы 2).
Осталось
установить, что
–
процесс с независимыми приращениями.
Для этого достаточно показать, что
Действительно,
Доказательство закончено.
1.1.4.
Замечания.
1) Рассмотрим
.
Отсюда следует, что
для любого
и ограниченного n
дифференцируем по t,
т.е. P-
п. н. существует
,
причем
.
Очевидно, что
при
для любого
.
2)
Из неравенства Коши-Буняковского
следует, что
.
1.2.Теорема
4. Обозначим
.
Тогда относительно меры Р
винеровский процесс является мартингалом.
Доказательство.
Нам надо проверить: 1)
;
2)
при
.
Заметим, что 1) следует из пункта 2)
замечания 1.1.4. Осталось доказать, что
, но в силу того, что
имеет независимые приращения имеем
.
Доказательство закончено.
1.2.1.
Замечание.
Очевидно, что
является квадратично интегрируемым
мартингалом относительно меры Р.
1.3. В дальнейшем нам понадобится одно свойство приращений винеровского процесса.
Теорема
5. Пусть
и. Пусть
разбиение отрезка [s,t]
такое, что
,
когда
.
Тогда
.
Доказательство. Сначала заметим, что в силу теоремы 1.
.
Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что
.
Действительно, в силу теоремы Фубини, имеем:
. (2)
Заметим, что в силу леммы 3
(3)
Значит, (2) с учетом (3) будет иметь вид:
Доказательство
закончено.
1.1 Свойства винеровского процесса.
1)
Пусть
- винеровский процесс, не зависящий от
.
(Докажите самостоятельно).
2)
Свойство автомодальности:
для любого
процесс
,
является винеровским процессом.
Достаточно показать, что
.
Действительно
.
3)
для любого
– винеровский процесс.
Достаточно
показать, что
.
Действительно,
.
4)
P
– п.
н.
.