Вопросы к экзамену 20072008

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ

«СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ»

Группы МЭ-51,52; ЭМ5-08

2007/2008 учебный год, зимняя экзаменационная сессия

Лектор – доцент Шнурков П.В.

Раздел 1. Понятие случайного процесса. Общие свойства случайных процессов.

1. Понятие случайного процесса. Первый подход к определению случайного процесса. Классификация случайных процессов по характеру множества значений параметра времени Т и множества состоянии Х. Конечномерные распределения процессов и их свойства.

2. Траектория случайного процесса. Выборочное вероятностное пространство или пространство траекторий (схема построения). Алгебра цилиндрических множеств. Сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами. Вероятностная мера, задаваемая на указанной сигма-алгебре.

3. Второй подход к определению случайного процесса. Общее определение случайной величины как измеримого отображения и его значение. Задание случайного процесса как измеримого отображения.

4. Система согласованных вероятностных мер (определение). Теорема Колмогорова о системе согласованных вероятностных мер (формулировка). Особенности теоремы Колмогорова и ее теоретическое значение.

5. Схема доказательства теоремы Колмогорова. Построение вероятностного пространства и случайного процесса с заданной системой конечномерных распределений.

6. Стохастическая эквивалентность случайных процессов. Модификации. Свойства траекторий стохастически эквивалентных процессов (анализ при помощи примера).

7. Различные понятия непрерывности случайного процесса, связи между ними (общая характеристика).

8. Непрерывность случайного процесса с вероятностью, равной единице, в любой момент времени t Т и непрерывность траектории процесса “в целом” с вероятностью, равной единице. Исследование соотношения между данными видами стохастической непрерывности и его значение для описания свойств случайного процесса. Пример, демонстрирующий различие указанных видов стохастической непрерывности.

9. Непрерывная модификация случайного процесса. Теорема Колмогорова о достаточных условиях существования непрерывной модификаии (без доказательства).

Раздел 2. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Общие свойства. Классификация состояний.

10. Общее понятие марковского процесса. Марковский процесс с дискретным множеством состояний (классическое определение). Формализация понятий прошлого и будущего. Сигма-алгебры, порожденные траекториями процесса. Вариант марковсткого свойства (условная независимость двух произвольных событий из прошлого и будущего).

11. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Способы задания марковской цепи с помощью вероятностных характеристик.

12. Уравнение Колмогорова – Чепмена. Свойства вероятностей перехода марковской цепи. Теорема существования марковской цепи с заданной матрицей вероятностей перехода.

13. Оценки для вероятностей перехода марковской цепи.

14. Связи между состояниями. Понятия пути и достижимости. Сообщающиеся состояния. Классы состояний. Теорема о разбиении множества состояний на классы.

15. Существенные и несущественные состояния (определение). Свойства состояний марковской цепи, связанные с существенностью.

16. Возвратные и невозвратные состояния марковской цепи. Необходимое и достаточное условие возвратности (аналитический критерий). Теорема о необходимых условиях невозвратности (без доказательства).

17. Альтернатива солидарности для свойства возвратности (доказательство)

18. Лемма Бореля – Кантелли. Теорема о числе возвращений марковской цепи в возвратное и невозвратное состояния. Общая характеристика эволюции марковской цепи с конечным множеством состояний.

19. Теорема о связи свойств существенности и возвратности (доказательство).

20. Вероятности перехода за конечное (произвольное) число шагов. Теорема о переходах внутри возвратного класса (без доказательства).

21. Положительные и нулевые состояния (определение). Альтернатива солидарности для свойства положительности.

22. Связь свойств возвратности и положительности.

23. Теорема о свойствах конечного замкнутого класса (доказательство).

24. Периодичность. Понятие периода и периодического состояния. Альтернатива солидарности для свойства периодичности.

25. Циклические подклассы и их свойства. Эволюция марковской цепи в замкнутом периодическом классе состояний. Вероятности перехода в периодичеком классе.

26. Альтернатива солидарности марковской цепи для основных свойств состояний (полное доказательство).

27. Случайные блуждания по целочисленным точкам в пространстве R¹. Свойства марковской цепи (симметричный и несимметричный случаи).

28. Симметричное случайное блуждание в пространстве R^m, m2. Анализ свойства возвратности марковской цепи.

29. Поглощающие цепи Маркова. Определение, свойства эволюции цепи. Основные характеристики ( m_ij – математическое ожидание числа попаданий в состояние j до поглощения при условии (); b_ik – вероятность поглощения в фиксированном состоянии k при условии ()).

30. Поглощающие цепи Маркова. Теорема о представлении матрицы M = (m_ij). Следствие: представление аддитивного функционала среднего дохода за время до поглощения при различных начальных условиях.

31. Поглощающие цепи Маркова. Теорема о представлении матрицы В = (b_ik).

Раздел 3. Цепи Маркова. Предельные и стационарные распределения.

32. Предельные, эргодические и стационарные распределения марковской цепи (определения). Свойство стационарности марковской цепи.

33. Достаточные условия стационарности цепи в виде условий на начальное распределение. Понятие стационарного режима в системе, описываемой марковским процессом. Переход к стационарному режиму.

34. Эргодические теоремы для переходных вероятностей марковской цепи (без доказательства).

35. Необходимые и достаточные условия эргодичности конечной марковской цепи (доказательство теоремы).

36. Необходимые условия существования пределов вероятностей перехода счетной марковской цепи, связь с существованием стационарного распределения (альтернатива). Анализ утверждений теоремы.

37. Необходимые и достаточные условия существования единственного стационарного распределения счетной марковской цепи (формулировка и анализ утверждений теоремы).

38. Необходимые и достаточные условия существования предельного распределения счетной марковской цепи (формулировка и анализ результата). Необходимые и достаточные условия эргодичности счетной марковской цепи (без доказательства).

39. Необходимые и достаточные условия существования стационарного, предельного и эргодического распределений конечной марковско цепи (доказательство).

40. Аддитивные функционалы доходов на траекториях марковских цепей. Эргодическая теорема для аддитивных функционалов (без доказательства).

Раздел 4. Ветвящиеся процессы с дискретным временем.

32. Ветвящиеся случайные процессы с дискретным временем. Описание модели, и ее различные интерпретации. Формальное определение ветвящегося процесса и его связь с цепью Маркова.

33. Соотношения для производящих функций распределений ветвящегося процесса. Вычисление моментов распределения значения ветвящегося процесса в произвольный момент времени.

34. Вероятность вырождения ветвящегося процесса. Предельная вероятность вырождения, ее существование и способ определения (теорема).

35. Анализ проблемы вырождения ветвящегося процесса в зависимости от параметров процесса.

3