3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть комплексное число z = a + bi изображено в виде векто­ра с началом О (0; 0) и концом Z (a; b).

Модулем комплексного числа z = a + bi называется длина вектора , которую можно найти по формуле |z| = . Обозначив модуль комплексного числа буквой r, получим . (1)

Аргументом комплексного числа называется угол φ, который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс. Величину угла φ можно найти с помощью формул

(2)/

Эта система имеет бесконечное множество решений вида φ + 2πk, где k – любое действительное число. Таким обра­зом, любое комплексное число г имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2л. Если k = 0, то мы получим главное значение аргумента φ, которое и будем называть аргу­ментом комплексного числа.

Из соотношений следует a = rcosφ, b = rsinφ. Если в запись комплексного числа z вместо а и b под­ставить эти значения, то получим

z = a + bi = rcosφ +i rsinφ =r( cosφ + isinφ).

Таким образом, мы получили новую форму записи комплексного числа:

Z = r( cosφ + isinφ) (3)

Сформулируем правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической.

1. Находят модуль комплексного числа г, для чего использу­ют формулу (1).

2. Для нахождения φ сначала определяют геометрически, в какой четверти находится точка z.

3. Составляют уравнения и по ре­шению одного из них находят угол ф.

4. Записывают комплексное число z в тригонометрической форме.

Пример 8. Записать в тригонометрической форме комплексное число z = 1 + i. Решение: Так как a = 1, b = 1, то . Изобразим число z геометрически (рис.). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая в I четверти, и вектор . Составим отношения , т. е. , . Этим соотношениям соответствует в I четверти угол φ = 45° или φ = я/4. 4. Так как , то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид z = 1 + i = .

3. Показательная форма комплексного числа

Если комплексному числу Z = r( cosφ + isinφ), модуль которо­го равен 1, поставить в соответствие показательное выражение e^iφ, то получим соотношение

cosφ + isinφ = e^iφ, (4)

которое называется формулой Эйлера.

Любое комплексное число г можно записать в виде г = re^iφ. Эта форма записи комплексного числа называется показатель­ной формой.

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

z = a + bi — алгебраическая форма;

Z = r( cosφ + isinφ) — тригонометрическая форма;

z = re^iφ — показательная форма.

Задания для контрольной работы по разделу III:

1. Выполните действия в алгебраической форме: (5 — 2 i)²; (-1+3 i)³;

2. Вычислите i¹⁵ + i²⁴ – i⁴⁹ – i³⁷ · i⁵¹

3. Решите уравнение х ² + 4x + 5 = 0.