3. Действия над комплексными числами

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алге­браической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 3. Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 - 7 i. Найти: а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1 z2. Решение: а) z1 +z2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i -7i) = 7 - 4i. б) z1 – z2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i +7i) = -3 + 10i; в) z1 · z2 = (2 + 3i) · (5 - 7i) = 10 - 14 i + 15 i – 21i2 = 10 + i – 21· (-1) = 31 + i.

При выполнении умножения можно использовать формулы

(a±b)² = a²±2ab + b² и (a±b)³ = a³±3a²b + 3ab ² ±b³.

Пример 4. Выполнить действия (2 + 3i) 2 . Решение: (2 + 3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i + 9· (-1) = -5 + 12i.

Рассмотрим теперь применение формулы (а + b) (a — b) = а² - b².

Пример 5. Выполнить действия (2 + 3i) (2 - 3i). Решение: (2 + 3i) (2 - 3i) = 4 - 9 i2 = 13.

Обратим внимание на то, что при использовании этой форму­лы всегда получается частный случай комплексного числа - действительное число, а комплексные числа, которые мы умножаем, являются сопряженными.

Определение 2. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Мы видим, что произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел.

Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное дели­телю.

Пример 6. Выполнить деление . Решение: .

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решить уравнение: х2 – 6х +13 = 0. Решение: Найдем дискриминант D = (-6)2 - 4 ·1 ·13 = 36 – 52 = - 16. . Корни уравнения находим по известным формулам: x2 = 3 + 2i.

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрица­телен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

3. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плос­кости с координатами (a, b) (рис.). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Дей­ствительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мни­мые числа — точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами (a, b) соответствует один и только один вектор с началом О(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора z с началом в точке 0(0; 0) и концом в точке Z(a; b).