Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Пермский государственный технический университет
Методические указания для выполнения практических работ по разделу
"Аналитическая геометрия"
Пермь 2010
"Аналитическая геометрия": методические указания для выполнения практических работ по курсу "Математика", "Элементы высшей математики" для студентов всех специальностей.
Разработал: преподаватель А.С. Ремизова
СОДЕРЖАНИЕ
1. Уравнение линии на плоскости 5
2. Кривые второго порядка 11
3. Комплексные числа 18
4. Литература 25
Пояснительная записка
Методические указания представляют собой руководство к решению задач раздела "Аналитическая геометрия" курса "Математика" и "Элементы высшей математики" для студентов специальностей СПО на базе среднего (полного) общего образования.
Основное назначение пособия – помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя изучить приемы решения основных задач, закрепить полученные навыки при выполнении контрольной работы и подготовиться к зачету по данному разделу.
I. Уравнение линии на плоскости
Уравнение линии
Понятие о параметрическом уравнении линии
Общее уравнение прямой
Правило составления уравнения прямой
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный нормальный вектор
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор
Уравнение прямой, проходящей чрез 2 данные точки
Уравнение прямой в отрезках
1. Уравнение линии
Пусть дано уравнение с двумя переменными. Решением этого уравнения является пара действительных чисел, причем, вообще говоря, имеется бесконечное множество таких пар. Если построить на координатной плоскости все точки, соответствующие всем парам чисел, являющихся решением этого уравнения, то получится множество точек, которое называется графиком этого уравнения.
Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными х и у , которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Говорят, что координаты точки удовлетворяют уравнению, если при подстановке их в данное уравнение оно превращается в тождество.
Пример 1. Определить, лежат ли точки А (2; 5) , В (1; 2,2) на линии, заданной уравнением 3х – 5у + 8 = 0. Р е ш е н и е: Подставив в уравнение координаты точки А, получим 3·2 - 5·5 + 8 ≠0 , 6 – 25 + 8 ≠ 0, - 11 ≠ 0. Следовательно, точка А не принадлежит заданной линии. Подставим координаты точки В: 3·1 - 5·2,2 + 8 = 0, 11 – 11 = 0. Следовательно, точка В лежит на заданной линии.
|
2. Понятие о параметрическом уравнении линии
Параметром называется вспомогательная переменная, входящая в формулы и выражения. В одних случаях параметры рассматривают как постоянные числа в условиях данной задачи, а в других случаях они рассматриваются как переменные. Например, в квадратном уравнении ах2 +b х + с = 0 величины а,b и c являются параметрами. При решении конкретного уравнения а,b и c считаются постоянными.
Чаще всего параметр
обозначают буквой t.
Например, х
– 2 = 3 t;
у – 5 = 2 t
– это
уравнение прямой, проходящей через
точку А (2; 5) и коллинеарной вектору
.
Пусть линия на плоскости является траекторией движения. Тогда каждую точку этой линии можно записать парой (x(t); y(t)), где x = x(t) и y= y(t) представляют собой функции параметра t. Уравнения x = x(t) и y= y(t) называются параметрическими уравнениями линии. Так, уравнения x = Rcost и y= Rsint являются параметрическими уравнениями окружности с радиусом R и центром в начале координат.
Параметрические уравнения линии можно привести к уравнению с двумя переменными. Для этого надо исключить параметр t из параметрических уравнений, выразив его из одного уравнения и подставив в другое.
3. Общее уравнение прямой
Прямые – самые простые линии на плоскости. Им соответствуют и самые простые уравнения – уравнения первой степени.
Справедливо следующее утверждение: всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у и обратно, всякое уравнение вида Ах + Ву + С = 0 при любых действительных значениях коэффициентов А, В и С, кроме случая одновременного равенства нулю коэффициентов А и В, определяет прямую.
Уравнение Ах + Ву + С = 0 называется общим уравнением прямой. Коэффициенты А, В, С принято записывать в виде целых чисел.
Рассмотри частные случаи общего уравнения прямой.
Пусть А = 0. Тогда уравнение примет вид Ву + С = 0. Преобразуем его: Ву = -С; у = - С/В; - C/B = b; y = b.
Получили уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.
Пусть В = 0. Тогда уравнение примет вид Ах + С = 0. Преобразуем его: Ах = -С; х = -С/А; -С/А = а; х = а.
Получили уравнение прямой, параллельной оси ординат.
Пусть А = 0, С = 0. Тогда уравнение примет вид Ву = 0, откуда у = 0. Получили уравнение оси абсцисс.
Пусть В = 0, С = 0. Тогда уравнение примет вид Ах = 0, откуда х = 0. Получили уравнение оси ординат.
Пусть С = 0. Тогда уравнение примет вид Ах + Ву = 0. Преобразуем его: Ву = - Ах; у = - (А/В) х, где В > 0. Обозначив, - А/В = k и подставив в уравнение, имеем у = kх.
Получили уравнение прямой, которое, как известно из школьного курса, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Эта прямая проходит через начало координат, а ее угловой коэффициент есть k = - А/В.
Напомним, что угловым коэффициентом называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Если угол наклона острый, то угловой коэффициент k > 0, если же угол наклона тупой, то угловой коэффициент k < 0.