2. Решение систем линейных уравнений в матричной форме

Так как систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матрич­ное уравнение.

2. Решить матричным способом систему уравнений Р е ш е н и е. Составим матричное уравнение АХ = В, где А = , Х = , В = и решим его указанным способом. Находим D = . A11 = ; A12 = - = -6; A13 = ; A21 = ; A22 = ; A23 = ; A31 = ; A32 = ; A33 = . Составим матрицу и транспонируем ее . Запишем обратную матрицу А-1 = . Следовательно, Х = А-1 В = = . Итак, решение системы уравнений есть х1 = 4, х2 = 3, х3 = 5.

§ 5. Решение линейных уравнений по формулам Крамера

Теорема Крамера

Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений

Теорема. Система п уравнений с п неизвестными, определи­тель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каж­дого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой явля­ется определитель системы, а числитель получается из опреде­лителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Пусть дана система п линейных уравнений с п переменными:

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов — матрицу-столбец В, т. е.

А = , В = .

Определитель матрицы А обозначим ∆ и назовем определителем системы. Таким образом,

.

Пусть ∆ ≠ 0. Если в определителе системы заменить поочере1дно столбцы коэффициентов при х₁, х₂, ..., х_п на столбец свободных членов, то получим п определителей (для п неизвестных)

, …, .

Тогда формулы Крамера для решения системы п линейных урав­нений с п неизвестными запишутся так:

или короче

где i = 1, 2, …, n.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. ∆=0 и каждый определитель ∆_xi=0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных х_i пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. ∆=0 и хотя бы один из определителей ∆_xi≠0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме Xi, пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

2. Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений

Рассмотрим применение формул Крамера к решению систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Решить систему уравнений Р е ш е н и е. Вычислим определитель системы ∆ и определители ∆x и ∆y . ; = ; . Найдем значение x и y по формулам Крамера: ; y= . Итак, решение системы есть (3; -1). Решите систему уравнений Р е ш е н и е. Вычислим определитель системы и определитель и : ; = ; = . Так как , а , то система не имеетт решений (уравнения противоречивы). Решите систему уравнений Р е ш е н и е. Находим Данная система имеет бесчисленное множество решений (коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Решите систему уравнений Р е ш е н и е. Вычислим определитель системы и определители при неизвестных: ; =3*(-7)-3*(-3)+1*(-13)=-25; Найдем значения x, y, z по формулам Крамера: x= y= z= Итак, получаем ответ: (1; -1; 2).