Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.

Матрицею розмірності m  n називають прямокутну таблицю чисел, яка складається з m рядків і п стовпчиків. Числа, які утворюють матрицю називають елементами матриці. Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту, а їх елементи відповідними малими літерами з індексами. Наприклад,

.

Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакову розмірність і їх відповідні елементи рівні. .

Матриця, яка складається з одного рядка (одного стовпчика) називається вектор-рядком (вектор-стовпчиком). Як правило замість або відповідно пишуть та .

Квадратною матрицею п-го порядку називається матриця, яка складається з п рядків і п стовпчиків. Наприклад, — квадратна матриця 2-го порядку. Квадратна матриця, всі елементи якої дорівнюють нулеві, називається

нуль-матрицею.

Елементи квадратної матриці п-го порядку називаються діагональними і утворюють головну діагональ матриці. Матриця, всі елементи якої окрім діагональних дорівнюють нулеві, називається діагональною. Діагональну матрицю, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називають одиничною і позначають буквою Е.

Добутком матриці на число  називатимемо матрицю , кожен елемент якої дорівнює відповідному елементу матриці А, помноженому на скаляр . Наприклад, якщо , то . Матрицю –А=–1А називають протилежною до матриці А.

Сумою матриць і однакової розмірності називають матрицю , кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В. Наприклад, якщо , а , то .

Добутком матриці розмірності т  п на матрицю розмірності п  р називають матрицю розмірності т  р, кожен елемент якої є сумою добутків елементів відповідного рядка матриці А на відповідний стовпчик матриці В. Наприклад, якщо , а , то .

Зауважимо, що добуток матриць є некомутативною операцією. Так в останньому прикладі добуток FD не існує, оскільки кількість стовпчиків матриці F не дорівнює кількості рядків матриці D. Але навіть якщо обидва добутки

існують, вони, як правило, не рівні між собою. Наприклад, , але .

Справджуються такі властивості:

1) 2) 3) 7) 8) 9)

4) 5) 6) 10) 11) 12)

Матриця називається транспонованою до матриці . Очевидно, що коли розмірність матриці А дорівнює тп, то розмірність транспонованої матриці — пт. Наприклад, якщо , то .

Справджуються такі властивості операції транспонування:

1) 2)

3) 4)

Визначник матриці. Обернена матриця

Для квадратних матриць вводиться поняття визначника (або детермінанта) матриці.

Визначником матриці першого порядку будемо називати елемент цієї матриці: .

Визначником матриці другого порядку будемо називати число . Наприклад,

Визначником матриці третього порядку будемо називати число

Наприклад, .

Визначникам матриць притаманні такі властивості:

1. Визначник одиничної матриці дорівнює одиниці

.

2. Якщо який–небудь рядок (стовпчик) матриці складається з одних нулів, то визначник матриці дорівнює нулеві.

.

3. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) матриці помножити на деяке число, то і визначник матриці помножиться на це число.

4. Визначник матриці, рядок (стовпчик) якої є сумою двох рядків(стовпчиків) дорівнює сумі відповідних визначників.

5. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється.

.

6. При перестановці двох довільних рядків (стовпчиків) матриці її визначник змінює знак на протилежний.

7. Визначник матриці, що містить два однакові рядки (стовпчики), дорівнює нулю.

8. Якщо до одного з рядків (стовпчиків) матриці додати інший, помножений на деяке число, то визначник матриці не зміниться.

Мінором елемента матриці А будемо називати визначник матриці, утвореної викреслюванням у матриці А рядка і стовпчика, де стоїть цей елемент.

Алгебричним доповненням елемента матриці А будемо називати число .

9. Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпчика) матриці на їх алгебричні доповнення.

.

Остання властивість дозволяє обчислювати визначники квадратних матриць будь-якого порядку, зведенням до обчислення визначників на одиницю меншого порядку. Наприклад,

.

Рангом матриці будемо називати найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці. Наприклад, ранг матриці дорівнює 2, бо мінор третього порядку , а мінор другого порядку .

Квадратна матриця називається оберненою до матриці , якщо

.

Матриця називається невиродженою, якщо . Кожна невироджена матриця має обернену. Обернена матриця обчислюється за формулою

.

Тут — алгебричне доповнення елемента матриці .

Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці .

Розв’язання: . Знаходимо алгебричні доповнення елементів матриці . Тоді, .