4.3. Принципы аппроксимации детерминированных возмущений

Задачи аппроксимации составляют класс одних весьма распространенных в системном анализе и математической статистике. Они связаны с получением математического описания зависимостей, полученных по результатам вычислений (как в рассматриваемом случае с возмущениями) или в процессе наблюдений (экспериментов). В математической статистике эти задачи рассматриваются в регрессионном анализе.

Остановимся на основных этапах решения Задач аппроксимации применительно к детерминированным возмущениям.

Пусть в распоряжении исследователя имеется массив данных в виде двухстолбцовой матрицы U, первый столбец которой содержит значения u(k_s), а второй ‑ значения k_s, s = 1, 2, ...N. Требуется получить математическую зависимость u_а(k_s), наилучшим образом соответствующую имеющимся данным u(k_s).

Общая последовательность решения таких задач включает:

1. выбор допустимого по условиям задачи варианта зависимости u_а(, k_s), где  ‑ вектор параметров, подлежащий определению;

2. выбор критерия качества (точности решения) или критерия близости, минимизация которого позволит получить искомую зависимость;

3. выбор метода решения возникающей экстремальной задачи;

4. решение;

5. проверка достигнутой меры близости; при недостаточности этой меры ‑ возврат к п. 1 и решение для другого варианта u_а(, k_s).

Выбор аппроксимирующего выражения u_а(, k_s) представляет собой многовариантную, практически не формализуемую задачу, успешное решение которой зависит от опыта исследователя. Сопоставление возможных вариантов u_а(, k_s) удобно проводить по остаточному значению критерия качества. Выбор этого критерия и метода численного поиска осуществляется исследователем. Достаточно часто в подобных экстремальных задачах используются критерии в виде суммы квадратов отклонений значений аппроксимирующего выражения u_а(, k_s) от исходных данных u(k_s). В общем случае для решения могут быть выбраны градиентный метод, метод Ньютона и прочие методы численного поиска. Особый класс таких задач составляют задачи, в которых параметры  линейно входят в аппроксимирующее выражение u_а(, k_s).

Решение подобных задач возможно двумя путями:

‑ созданием соответствующего программного обеспечения;

‑ использованием систем компьютерной математики (СКМ).

Первый путь весьма трудоемок: необходимо реализовать численный метод поиска экстремума функции многих переменных, проверить его на тестовых задачах. Второй путь значительно проще, поскольку современные СКМ (Maple, Mathematica, Mathcad и др.) имеют множество встроенных функций и процедур, в которых соответствующие алгоритмы поиска реализованы на профессиональном уровне.

Типовой пример решения задачи аппроксимации представлен на рис. 4.8 и рис. 4.9. Вычисления производились в среде Mathcad.

В правой части рис. 4.8 приведена часть исходной матрицы U, первый и второй столбцы которой были обозначены векторами Y и х соответственно. Учитывая характер изменения значений Y от х (см. сплошную кривую на рис. 4.8), в качестве аппроксимирующего выражения выбрана разность двух восходящих экспонент с различными постоянными времени. Это выражение, обозначенное u(i, ), выделено рамкой на рис. 4.8. Здесь  ‑ вектор искомых параметров. Критерий качества z() выбран в примере в виде суммы квадратов отклонений. Для поиска искомого вектора () используется встроенная процедура minimize. Результат решения приведен на графике и использован для вычисления остаточной суммы квадратов z(), значение которой (~ 1,2٠10^–8) свидетельствует о высокой точности аппроксимации.

Рис. 4.8. Пример решения задачи аппроксимации

Рис. 4.9. Решение с использованием связи₁ – ₃ = – 2

При анализе исходных данных, как правило, можно выявить некоторые связи между искомыми параметрами, использование которых позволяет сузить спектр сопоставляемых при поиске вариантов, сократить число искомых параметров и, тем самым, упростить процедуру решения.

В данном примере (см. рис. 4.8) нетрудно видеть, что зависимость u(k_s) имеет установившийся уровень, равный (– 2). Этому значению соответствует связь между параметрами вида: ₁ – ₃ = – 2, которую можно использовать в качестве дополнительной информации. Вариант решения этой задачи с использованием дополнительной информации представлен на рис. 4.9.

Введение дополнительной информации позволило сократить на единицу число искомых параметров, увеличить точность полученного решения, что заметно по значению остаточной суммы квадратов. Процесс поиска, очевидно, проводился в этом случае на множестве лишь тех зависимостей, установившиеся уровни которых были равны (– 2). Приведенный пример иллюстрирует сравнительную простоту использования СКМ при решении задач рассматриваемого класса.

Принципы аппроксимации, рассмотренные выше, являются достаточно общими, применимыми для многих задач построения математических описаний по данным наблюдения, по результатам экспериментов и проч. Дополнительные сведения по подходам к решению таких задач можно получить в [5] и разделах портала http://mas.exponenta.ru.