4.1. Эквивалентирование детерминированных возмущений

Пусть требуется имитировать совокупность сложных возмущений, алгоритмически связанных, например, следующей схемой (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1. Пример схемы формирования возмущения

Структура схемы рис. 4.1 представляет последовательность вычислений u в блоках 1, 2 и 3 с целью формирования результирующего воздействия u. Пусть также u = u(k), где k ‑ некий параметр, диапазон изменения которого (k₁, k₂). Вычисляя значения u(k) по схеме рис. 4.1 на всем диапазоне k, эта схема вычислений в ИМ может быть заменена зависимостью u_а(k), полученной в результате аппроксимации u(k). Подобное упрощение (эквивалентирование) возмущений может быть осуществлено и в тех случаях, когда на возмущения влияет большое число параметров. При этом могут быть выбраны такие совокупности параметров, при которых воздействие на исследуемые процессы имеет минимальный или максимальный уровень. Подобные варианты возмущений позволяют осуществлять имитационное моделирование в целях получения минимаксных, максиминных и других решений.

4.2. Имитация динамических детерминированных возмущений

Выше было отмечено, что имитация динамических воздействий и возмущений осуществляется путем задания соответствующих дифференциальных уравнений или использованием лишь решений этих уравнений в виде выходных сигналов динамических звеньев.

Для определенности будем рассматривать имитацию динамических возмущений, порождаемых линейными непрерывными или дискретными динамическими звеньями со скалярными входным и выходным сигналами.

Линейным непрерывным динамическим звеном называют звено, описываемое линейными дифференциальными уравнениями. Если звено описывается линейными разностными уравнениями, оно носит название линейного дискретного динамического звена.

Линейное непрерывное динамическое звено порядка n может быть описано одним из следующих способов:

‑ передаточной функции W(p);

‑ системой n дифференциальных уравнений в форме Коши;

‑ дифференциальным уравнением n-го порядка.

Как известно [6], передаточная функция линейного звена определяется отношением изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях. Так, для звена, имеющего входной g(t) и выходной u(t) сигналы, передаточная функция определится как

W(p) = u(p) ∕ g(p). (4.4)

Здесь p ‑ оператор Лапласа.

С понятием передаточной функции тесно связано понятие переходной характеристики h(t) ‑ реакции динамического звена на единичное ступенчатое воздействие 1(t). При этом, связь изображения по Лапласу переходной характеристики с передаточной функцией подчиняется очевидными соотношениями вида:

h(p) = W(p) ∕ p; W(p) = p٠h(p), (4.5)

поскольку изображение по Лапласу ступенчатого сигнала 1(t) равно 1∕p.

На рис. 4.2 приведен пример задания и анализа в среде Mathcad динамического звена второго порядка.

Рис. 4.2. Пример динамического звена

Оригинал переходной характеристики h(t) найден в примере (см. рис. 4.2) с помощью символьного оператора invlaplace, выполняющего обратное преобразование Лапласа. Справа от графика переходной характеристики найдены корни полинома знаменателя передаточной функции, для чего используется символьный оператор solve.

Будем различать устойчивые и неустойчивые динамические звенья. Известно [6], что корни полинома знаменателя передаточной функции W(p) устойчивых звеньев расположены в левой полуплоскости на комплексной плоскости. Отсюда следует, что переходные характеристики устойчивых звеньев имеют конечные установившиеся (при t → ∞) значения:

h(∞) = (4.6)

т. е. для устойчивых звеньев h(∞) — конечны.

В теории преобразования Лапласа известны предельные соотношения, важные при анализе динамических звеньев. Эти соотношения утверждают, что, если некоторый оригинал z(t) при t → ∞ имеет конечное значение z(∞), то это конечное значение может быть найдено из изображения по Лапласу z(р) следующим образом:

z(∞) = . (4.7)

Аналогично, если при t → 0 существует (не бесконечное) начальное значение z(0), оно также может быть найдено из изображения по Лапласу z(р) с помощью соотношения вида

z(0) = . (4.8)

Из этих предельных соотношений непосредственно следует, что установившееся значение переходной характеристики устойчивого линейного динамического звена может быть найдено из простого выражения:

h(∞) = = W(0). (4.9)

Без ущерба для общности рассмотрения далее будем считать, что передаточная функция W(p) соответствует устойчивому динамическому звену, т. е. W(0) = h(∞), и является правильной, т. е. степень полинома ее числителя меньше степени полинома знаменателя, (W(∞) = 0). Здесь h(∞) ‑ конечное установившееся значение переходной характеристики звена с передаточной функцией W(p).

Кроме представления звена передаточной функцией, рассматриваемое звено может быть описано дифференциальными уравнениями в форме Коши:

, (4.10)

где: v – (b  1)-вектор состояний, А – (b  b)-матрица динамики; g, u – скалярные входное воздействие и выходной сигнал (реакция) звена; В, Н – b-мерные вектор-столбец и вектор-строка коэффициентов соответственно, v(0) – начальное состояние.

Используя основные свойства преобразований Лапласа, нетрудно найти связь между описанием звена в форме (4.10) и (4.4). Действительно, из (4.10) при нулевых начальных условиях следует:

p٠v(p) = A٠v(p) + B٠g(p); (p٠E – A) ٠v(p) = B٠g(p), u(p) = H٠v(p),

откуда, после несложных преобразований, получим

u(p) = H (p٠ E_b – A)^–1 B٠g(p).

Таким образом, передаточная функция (4.4) связана с матрицами формы Коши (4.10) соотношением вида:

W(p) = H (p٠E_b – A)^–1 B, (4.11)

где E_b ‑ единичная матрица порядка b.

Отметим, что выражение (4.11) однозначно определяет переход от дифференциальных уравнений (4.10) к передаточной функции (4.4). Однако обратный переход может быть осуществлен бесконечным числом вариантов. Это объясняется тем, что от системы дифференциальных уравнений (4.10) с вектором состояний v можно перейти к эквивалентной системе дифференциальных уравнений с другим вектором состояний (например, d) посредством бесконечного числа преобразований вида d = D٠v, где D ‑ неособенная матрица. Используя преобразование d = D٠v, от системы дифференциальных уравнений (4.10) перейдем к другой системе вида:

, (4.12)

где: d – (b  1)-вектор состояний, А1 – (b  b)-матрица динамики; g, u – скалярные входное воздействие и выходной сигнал (реакция) звена; В1, Н1 – b-мерные вектор-столбец и вектор-строка коэффициентов соответственно, d(0) – начальное состояние.

Матрицы системы (4.12) связаны с исходными матрицами системы (4.10) следующими очевидными соотношениями:

A1 = D∙A∙D ^{– 1}; B1 = D∙B; H1 = H∙D ^{– 1}. (4.13)

Выполненное преобразование систем дифференциальных уравнений носит название преобразования подобия.

Системы уравнений (4.10) и (4.12) эквивалентны в том смысле, что входной и выходной сигналы динамического звена, которое они описывают, не изменились. Это означает, что передаточная функция этого звена осталась прежней и реакции систем (4.10) и (4.12) на аналогичные входные сигналы совпадают. Действительно, прямое использование выражения (4.11) для получения передаточной функции W1(p) системы (4.12) дает:

W1(p) = H1 (p٠E_b – A1)^–1 B1 = H∙D ^{– 1} (p٠E_b – D∙A∙D ^{– 1})^–1 D∙B =

= H∙[D ^{– 1}(p٠E_b – D∙A∙D ^{– 1})D]^–1 ∙B. (4.14)

Из этого соотношения, в силу неособенности матрицы D, непосредственно следует, что W1(p) = W(p).

Как отмечалось, существование неограниченного числа неособенных матриц D определяет неоднозначность перехода от передаточной функции динамического звена к описывающей его системе дифференциальных уравнений. Переход от W(p) к соответствующей системе (4.10) связан с понятием реализации передаточной функции.

Назовем реализацией совокупность матриц R = (А, В, Н) системы (4.10). Для системы (4.12) реализацией будет R₁ = (А1, В1, Н1), совокупность матриц которой определяется выражениями (4.13). Для имитации возмущений динамическими звеньями с передаточной функцией W(p), можно воспользоваться любой из реализаций, удовлетворяющих преобразованиям подобия. Все эти реализации должны обеспечивать получение одного и того же выражения для W(p) после преобразований (4.14). Однако среди бесконечного множества эквивалентных (подобных) реализаций существует одна, обладающая уникальными свойствами. Обозначим ее R₀ = (A0, B0, H0) и опишем ее свойства, следуя [5].

Произвольная правильная передаточная функция W(p) n-го порядка может быть представлена в виде:

(4.15)

;

где: a и b – (n  1)-векторы, включающие параметры полиномов числителя и знаменателя W(p); P – (n  1)-вектор, содержащий степени оператора Лапласа. Эти векторы имеют вид:

Назовем реализацией R₀ совокупность матриц следующей структуры:

А0 = ; В0 = С ^-1 ; H0 = | 1 0 0 … 0 |. (4.16)

Здесь обозначено:  – [(n – 1)  1] – нулевой вектор; E_{n – 1} – единичная матрица порядка (n – 1); С – (n  n) – нижняя треугольная матрица, составленная из коэффициентов полинома знаменателя W(p):

C = . (4.17)

Передаточная функция для реализации R₀ выразится следующим образом:

W(p) = H0[pE_n – A0] ^–1B0 = H0∙[p∙С – С∙A0] ^{– 1} . (4.18)

Из структуры матрицы А0 следует, что она будет неособенной при b₁  0, т. е. при отсутствии в передаточной функции чисто интегрирующих составляющих. В дальнейшем будем предполагать b ₁  0, имея в виду, что распространение полученных ниже результатов на случаи b₁ = 0, b₁ = b₂ = 0 и т. д. не вызовет затруднений.

Обратим внимание на то, что исходная передаточная функция в общем случае имеет 2n параметров, отражающих свойства имитируемого динамического звена. Эти параметры распределены поровну в структуре матриц А0 и B0 реализации R₀, т. е. эта реализация имеет предельно сжатую (компактную) форму. Кроме того, реализация R₀, обладает следующими свойствами [5], которые приведем здесь без доказательств.

Свойство 1. Матрица наблюдаемости N0 реализации R₀ является единичной:

N1 = | (H0)^T (H0∙A0)^T . . . (H0∙A0^{n - 1})^T |^T = E. (4.19)

Свойство 2. Реализация R₀ = (А0, В0, Н0) образуется из любой другой полностью наблюдаемой реализации R = (A, В, Н) преобразованием подобия вида (4.13) с использованием матрицы наблюдаемости N реализации R.

Можно показать, что полученная в результате преобразования подобия (4.13) при D = N новая система имеет матрицы реализации R₀, т. е.

A0 = N∙A∙N ^{– 1}; B0 = N∙B; H0 = H∙N ^{– 1}. (4.20)

Описанные свойства иллюстрируются на рис. 4.3 и рис. 4.4.

На рис. 4.3 для звена третьего порядка с помощью символьных преобразований (4.16), (4.17) составлены матрицы реализации R₀. В частности, с использованием выражений (4.18) символьными преобразованиями восстанавливается передаточная функция и определяется матрица наблюдаемости N, которая равна единичной матрице в соответствие со свойством (4.19). Для нахождения матрицы наблюдаемости использована встроенная функция stack, в данном случае имеющая три аргумента в виде матриц, последовательно присоединяемых друг к другу снизу.

Рис. 4.3. Свойство реализации R₀

Получение в символьной форме реализации R₀ из произвольной реализации R путем преобразования подобия с помощью неособенной матрицы наблюдаемости N реализации R показано на рис. 4.4. Символьные преобразования исходных матриц реализации R приводят к получению матриц реализации R₀, о чем свидетельствует единичная матрица наблюдаемости полученной системы. Это подтверждает справедливость свойства 2.

В достаточно распространенных случаях информация о динамических детерминированных возмущений может быть задана в виде передаточных функций W(p).

Рис. 4.4. Пример получения реализации R₀

Для учета такого возмущения в имитационной модели необходимо перейти от передаточной функции к эквивалентным дифференциальным уравнениям, которые в процессе имитационного моделирования будут решаться одним из численных методов (например, Рунге-Кутта). Учитывая неоднозначность перехода от W(p) к реализациям R, такой переход целесообразно ограничить получением одной из реализаций, например, реализации R₀. Последовательность этапов, которые должны быть выполнены в процессе такого перехода, иллюстрируется для числового примера на рис. 4.5 (Mathcad). Кратко прокомментируем преобразования, осуществляемые в каждом из этих этапов, которые на рис. 4.5 помечены номерами:

1. На этом этапе вводится исходная передаточная функция динамического звена, свойства которого приемлемы для имитации динамического возмущения. В данном примере рассматривается передаточная функция 3-го порядка. На этом же этапе вводятся две единичные матрицы ‑ второго (Е2) и третьего (Е3) порядков, которые нужны в последующих преобразованиях.

2. Передаточная функция приводится к виду (4.15), в котором коэффициент при старшей степени в полиноме знаменателя равен единице. Назовем полученную матрицу W*(p).

Рис. 4.5. Пример формирования матриц реализации R₀

3. Для передаточной функции W*(p) формируется вектор коэффициентов полиномов знаменателя и нулевой вектор второго порядка (векторы b_II и  в выражении (4.16)).

4. Формирование матрицы А0 (4.16) реализации R₀. Это формирование выполняется с использованием двух встроенных функций: augment (состыковывает матрицы по горизонтали ‑ боками) и stack (состыковывает матрицы по вертикали).

5. Формирование матрицы С, вектора коэффициентов полинома числителя W*(p), матриц В0, Н0 (4.16); формирование матрицы наблюдаемости полученной реализации. Ниже п. 5 выводятся числовые значения сформированных матриц. Поскольку матрица наблюдаемости N0 получилась единичной, делаем вывод, что матрицы реализации составлены правильно.

6. Осуществляется дополнительная проверка правильности полученных матриц, для чего использовано выражение, аналогичное (4.11). Проверка показывает, что полученные матрицы соответствуют исходной передаточной функции.

При формировании ИМ динамические возмущения могут быть представлены не только системами дифференциальных или, разностных уравнений, но и их решениями. Это упрощает процесс моделирования, поскольку в процессе компьютерных экспериментов при таком способе имитации воздействий не требуется применения численных процедур интегрирования дифференциальных уравнений или циклической реализации разностных уравнений. В качестве решений при этом могут использоваться переходные характеристики динамических звеньев. Так, достаточно часто используется имитация динамических возмущений в полиномиальной форме вида

у(t) = a₀ + a₁∙t + a₂∙t² + a₃∙t³ + ... (4.21)

Такие формы применяются для введения в ИМ трендов, медленно меняющихся факторов, таких, как, например, индексы спроса, цены на продукцию и прочее.

Выражение (4.21) ‑ решение системы линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) n-го порядка специального вида или переходная характеристика неправильной передаточной функции, так как у(0) = a₀ ≠ 0.

Один из вариантов систем ЛДУ, соответствующих (4.21), может иметь следующую реализацию R = (A, В, Н):

A = B =

H = | n!∙an (n -1)!∙an–1 …2!∙a2 a1 |; у(0) = a0 . (4.22)

На рис. 4.6 приведены копии фрагментов mcd-файлов, в которых сформированы реализации (4.22) второго (рис. 4.6, а) и третьего (рис. 4.6, б) порядков и получены переходные характеристики h(t).

Рис. 4.6, а. Матрицы системы ЛДУ второго порядка для (4.21)

Передаточные функции, полученные символьными преобразованиями с использованием (4.11), обозначенные на рис. 4.6 W2 и W3.

Рис. 4.6, б. Матрицы системы ЛДУ третьего порядка для (4.21)

Другая форма ЛДУ для полиномов (4.21) может быть образована записью уравнений для констант - коэффициентов полинома. В отличие от представления возмущений в виде переходных характеристик и, следовательно, решений ЛДУ с нулевыми начальными условиями, константная модель возмущений имеет начальные условия x₀ в виде коэффициентов полинома.

Этой форме соответствует система ЛДУ (4.10) n-го порядка, в которой матрицы А = 0, В = 0, а матрица Н содержит степени t:

= 0; y = H∙x; x₀ = [a₀ a₁ a₂ ... a_n]; H = [1 t t² ... tⁿ]. (4.23)

Из решения уравнений (4.23) непосредственно следует выражение (4.21) для у(t). На рис. 4.7 это решение в виде полинома второй степени получено операторным способом. При этом использован переход от первой производной (оригинал) к ее изображению по Лапласу, имеющий вид

p∙x(p) – x₀.

Рис. 4.7. Константная модель полиномиального возмущения

При своей предельной простоте, эта константная форма весьма удобна при имитации полиномиальных возмущений, поскольку на ее основе просто осуществляется прогнозирование в случаях, когда коэффициенты полинома (4.21) ‑ случайные величины. Этот случай будет рассмотрен ниже.

Завершая краткое описание подходов, которые могут быть использованы при анализе и имитации динамических детерминированных возмущений, отметим, что подобные возмущения могут быть введены в имитационную модель и в виде разностных уравнений. Эти уравнения используются при имитации дискретных возмущений, значения которых получают последовательно для ряда интервалов дискретности.

Так же, как и в вариантах имитации динамических возмущений дифференциальными уравнениями и их решениями, при имитации дискретных возмущений наиболее часто используются линейные разностные уравнения.

Рассмотрим процедуры формирования разностных уравнений, описывающих состояния линейной динамической системы. Разностные уравнения служат распространенной формой математических моделей дискретных динамических систем. В то же время, разностные уравнения могут быть использованы в качестве дискретного аналога дифференциальных уравнений, описывающих непрерывные динамические системы. Линейные системы подобного типа описываются дифференциальными уравнениями в форме Коши вида

= Ax + Bu; y = Hx; x(0) = x₀ , (4.24)

где x – (n  1) – вектор состояний системы; А – (n  n) – матрица динамики системы; u, y – скалярные входное воздействие и выходной сигнал (реакция) системы; В, Н – n-мерные вектор-столбец и вектор-строка коэффициентов соответственно; х(0) – (n  1) – вектор начального состояния системы.

Без потери общности будем полагать, что А, В, Н системы (4.24) – постоянные вещественные матрицы.

Для перехода от системы уравнений (4.24) к эквивалентным разностным уравнениям разобьем отрезок времени (t₀ , t) на k интервалов дискретности Т так, что kT = t – t₀, и рассмотрим решения уравнений (4.24) на двух соседних интервалах. В момент времени t решение уравнений (4.24) имеет вид

. (4.25)

Учитывая произвольность выбора начального момента времени, будем считать t₀ = 0. Тогда, вводя обозначения x(t) = x(kT) = x_k; x(0) = x₀ и используя известные свойства матричной экспоненты Ф(t) = е^Аt:

Ф(t) = Ф(kT) = Ф^k (Т) = Ф(Т) Ф[(k – 1)T],

перепишем (4.25) в виде

x_k = Ф^k (Т) x₀ + . (4.26)

Записывая аналогичным образом уравнение (4.26) для момента времени t + T = (k + 1)T и выражая это решение на (k + 1)-м интервале дискретности через решение на k-м интервале, получим

x_{k + 1} = Ф(Т) x_k + . (4.27)

Будем считать значения переменных уравнений (4.24) постоянными на интервале дискретности Т, например, u(t) = u_k для kT  t < (k + 1)T. Тогда, учитывая выражение (4.27), заменим дифференциальные уравнения (4.24) разностными:

x_{k + 1} = Ф(Т) x_k + Г(T) u_k; y_{k + 1} = H x_{k + 1}; x(0) = x₀. (4.28)

Матрицы разностного уравнения (4.28) в данных условиях зависят от значения интервала дискретности Т, являются постоянными на интервале времени [0,t] и определяются известными соотношениями [3, 5]:

Ф(Т) = ехр(АТ); Ф(Т) = ; Г(Т) = ; Г(Т) = .

(4.29)

При неособенной матрице А для матрицы Г(Т) может быть использовано выражение: Г(Т) = А^{– 1} [Ф(Т) – Е] В, где Е – единичная матрица n-го порядка.

Матричные степенные ряды (4.29) как для матриц Ф и Г характеризуются быстрой сходимостью при правильном выборе интервала дискретности Т, от которого зависит выбор числа членов этих рядов при численном моделировании систем с использованием уравнений (4.28). Выбор значения Т полностью определяется динамическими свойствами системы (4.24) или, что то же, распределением собственных чисел _i (i = 1, n) матрицы А динамики системы (4.24). Практика показывает, что выбор значений Т может быть осуществлен с помощью выражения, которое может быть получено в результате анализа совокупности собственных чисел _i матрицы А. В общем случае _i имеют вид:  _{i, i + 1} = α _i ± j β _i, где α, β – вещественная и мнимая составляющие собственного значения, j – мнимая единица.

Предполагая исходную систему (4.24) устойчивой и учитывая, что на выбор шага влияют степень затухания переходных процессов (вещественные составляющие собственных значений) и частота колебаний переменных системы (мнимые части собственных значений), выражение для Т может быть записано в форме:

; ; . (4.30)

Здесь | _j | _max – максимальный модуль вещественной части собственных чисел матрицы А.

Время затухания процессов в устойчивой системе определяется самой медленной составляющей, т. е. – минимальным модулем |_j |_min вещественной части собственных чисел матрицы А. Поэтому оценка времени затухания может быть найдена с помощью выражения вида: Т_э = (3 ÷ 5)/| _j |_min. Наличие у собственных чисел мнимых составляющих свидетельствует о присутствии колебательных составляющих в переходных процессах. Период колебаний каждой i-ой составляющей определяется отношениями 2 / β _i .

Выражение (4.30) представляет правую границу диапазона допустимых значений интервала дискретности, в пределах которого можно выбрать конкретную величину Т. Практика использования разностных уравнений (4.28) при численном анализе динамических систем свидетельствует о том, что при выборе интервала дискретности в соответствии с выражением (4.30) минимальное число членов матричных степенных рядов (4.29) определяется значением  = 7.

При моделировании динамических систем с использованием рекуррентных алгоритмов (4.28), так же как и в непрерывном случае, необходимы проверки правильности формирования этих уравнений и корректности процесса вычислений. Такой проверкой могут служить вычисление установившегося значения выходной переменной или всех элементов вектора состояний по разностным уравнениям (4.28) и сопоставление результатов моделирования с полученными теоретическими значениями, а также с непрерывным случаем.

Для заданных матриц А, В, Н устойчивой непрерывной системы (4.24), установившиеся значения выходной переменной y(∞) и вектора состояний х(∞) определяются очевидными выражениями:

х(∞) = – А^–1 В u(∞); y(∞) = Н х(∞) = – Н А^–1В u(∞). (4.31)

Для случая разностных уравнений установившееся состояние соответствует уравнению: x(∞) = Ф(Т) x(∞) + Г(T) u(∞); y(∞) = Н х(∞), откуда

x(∞) = [E – Ф(Т)]^–1 Г(T) u(∞); y(∞) = Н х(∞). (4.32)

Применение разностных уравнений не ограничивается вопросами имитации возмущений, но может быть распространено и на общие проблемы моделирования динамических систем различного рода.