Интеграл случайной функции [3]

Пусть, как и ранее, имеется случайная функция Х(t) с заданными математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией K_x(t,t).

Рассмотрим случайную функцию вида:

Z(s) = , (П.2.7)

где g(s,t) — определенная функция, и найдем математическое ожидание и корреляционную функцию Z(s).

Разобьем область интегрирования Т на участки t_k и рассмотрим случайную последовательность Z_(s) = Х(t_k)t_k.

Функция (П.2.7) называется интегралом случайной функции Х(t) с функцией веса g(s, t), распространенным на область Т, если справедливо соотношение

M[|Z_(s) – Z(s)|²] = 0. (П.2.8)

Отсюда следует, что Z(s) — предел в среднем квадратическом последовательности случайных величин Z_(s), т. е.

= Х(t_k)t_k.

Известно [3], что необходимым и достаточным условиями существования интеграла Z(s) случайной функции Х(t) являются существование двух интегралов:

m_z(s) = ; (П.2.9)

(s, s) = g(s, t)K_x(t, t)dtdt. (П.2.10)

Функция m_z(s) (П.2.9) называется математическим ожиданием интеграла Z(s) (П.2.7) случайной функции Х(t). Из (П.2.9) следует, что

М [ ] = . (П.2.11)

Функция (s, s) (П.2.10) называется корреляционной функцией интеграла Z(s) (П.2.7) случайной функции Х(t).

Приведем примеры, которые относятся к проблеме случайных процессов.

Пример 1. На вход динамического звена, которое описывается дифференциальным уравнением первого порядка, поступает белый шум w единичной интенсивности с нулевым математическим ожиданием:

a₁(t) + a₀(t) X = w; Х(t₀) = 0. (П.2.12)

Найти корреляционную функцию K_x(t, t) случайной функции Х(t).

Решение. Для случайной функции Х(t) из (П.2.12) имеем:

Х(t) = q₁(t) ()]; q₁(t) = exp{ – }.

Учитывая, что на основании (П.2.9) математическое ожидание случайной функции Х(t) равно нулю, а корреляционная функция w по условию равна (t – t), из формулы (П.2.10) имеем:

K_x(t, t) = q₁(t) q₁(t) .

При t < t эта формула дает K_x(t, t) = q₁(t) q₁(t) .

На основании полученных выражений и вследствие симметричности корреляционной функции, окончательно получаем:

K_x(t, t) = ; q₂(t) = q₁(t) .

В широко распространенном частном случае, при a₁ = 1/ ; a₀ = , t₀ = – ∞, получаем q₁(t) = е^{– a t}, q₂(t) = ^е ^{a t} и корреляционную функцию

K_x(t, t) = ^e^{– | t – t|}. (П.2.13)

Таким образом, случайную функцию (процесс) с экспоненциальной корреляционной функцией (П.2.13) можно получить в результате прохождения белого шума через линейное динамическое звено, поведение которого описывается дифференциальным уравнением первого порядка (П.2.12). Передаточная функция такого звена равна W(p) = k/(p + ), k = 1/ a₁ = ;

 = 1/ T_п , где T_п — постоянная времени экспоненты.

Пример 2. Найти дисперсию интеграла от экспоненциально коррелированного случайного процесса X(t), корреляционная функция которого определяется формулой (П.2.13).

Решение. В данном случае выражение (П.2.7) имеет вид:

Z(s) = . (П.2.14)

Результат может быть получен несколькими способами.

1. Обозначая D = ^, на основании (10) получаем:

(s, s) = D ; D_z(s) = D .

После преобразований, для искомой дисперсии получаем:

D_z(s) = (s + e ^{– a s} – 1). (П.2.15)

Решение этим способом в среде Mathcad приведено ниже.

2. Вторым способом решения данной задачи служит использование ковариационного уравнения. Принимая во внимание результат решения предыдущего примера, запишем исходную форму Коши для нашего случая:

= + w; H = | 1 0 |; P(0) = . (П.2.16)

Здесь w — белый шум единичной интенсивности, P(0) — начальная ковариационная матрица.

Записывая три дифференциальных уравнения для вторых центральных моментов и решая их с применением преобразования Лапласа, нетрудно получить результирующее выражение (П.2.15). Последовательность этапов этого решения приведена на рис. П.2.1.

Рис. П.2.1. Решение примера с помощью ковариационного уравнения

Дополнительно отметим, что элементы матрицы Р, обозначенные в первой строке рис. П.2.1, учитывают, что интегрируется стационарный случайный процесс, дисперсия которого равна D. Во второй строке приведенного файла получаются правые части дифференциальных уравнений для элементов ковариационной матрицы, и задается единичная матрица Е. После формирования матриц A_p, В_p, Н_p эквивалентной формы Коши и передаточной функции W решение получается путем обратного преобразования Лапласа.

Рассмотренный пример, в силу его сравнительной простоты, конечно, более рационально решать с применением формулы (П.2.10). Однако в более сложных случаях, когда анализируются числовые характеристики реакций динамической системы на случайные воздействия, более приемлемым с практической точки зрения будет второй способ. Он позволяет достичь решения как аналитически (путем формирования передаточной функции и ее разложения на простые дроби в случае, когда эта функция сложна), так и численным интегрированием матричного ковариационного уравнения или его эквивалентной формы Коши.

*) Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений: Пер. с англ.– М.: Физматлит, 1970. – 564.

267