Приложение 2

Производная и

Интеграл случайной функции

Производная случайной функции

Обычное определение производной как предел приращения функции к приращению аргумента неприменимо к случайным функциям вследствие неприменимости обычного определения предела к случайным величинам. Действительно, для случайной функции X(t) отношение

Y_(t)X(t + t) – X(t)] /t (П.2.1)

является случайной величиной. Задавая при фиксированном значении t последовательность t, сходящуюся к нулю, получим последовательность случайных величин. О пределе такой последовательности можно говорить только в вероятностном смысле или рассматривать ее сходимость в среднем квадратическом.

Сходимость в среднем квадратическом

Последовательность случайных величин Х₁ , …, Х_n … называется сходящейся в среднем квадратическом к случайной величине Х, если математическое ожидание квадрата модуля разности Х_n – Х стремится к нулю при n → ∞:

= 0. (П.2.2)

Случайная величина Х называется пределом в среднем квадратическом последовательности случайных величин Х_n:

Х = , (П.2.3)

где символы, разделенные точками, обозначают начальные буквы фразы limit in mean (англ.) — «предел в среднем».

Последовательность случайных величин Х_n, сходящаяся в среднем квадратическом к случайной величине Х, всегда сходится к Х и по вероятности. На основании этого имеем

P(|Х_n – Х| ≥ ) ≤ M[|Х_n – Х|²] / ^

откуда следует, что сходимость моментов второго порядка разностей Х_n – Х к нулю влечет сходимость последовательности случайных величин Х_n по вероятности к случайной величине Х.

Производная случайной функции

Пусть имеется случайная функция Х(t) с заданными математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией K_x(t,t). Случайная функция Y₁(t) называется производной случайной функции Х(t), если она является пределом в среднеквадратическом последовательности случайных величин (П.2.1), т. е. справедливо соотношение

M[|Y_(t) – Y₁(t)|²] = 0. (П.2.4)

Производная случайной функции обозначается Y₁(t) = dХ(t)/dt =  . Из определения (П.2.4) следует, что производная случайной функции Х(t) есть предел в среднем квадратическом последовательности случайных величин Y_(t), т. е.

= Y_(t).

Известныны [3]следующие утверждения:

‑ необходимым и достаточным условиями существования производной Y₁(t) случайной функции Х(t) являются дифференцируемость ее математического ожидания m_x(t) и существование второй смешанной производной ее корреляционной функции ²K_x(t,t)/tt;

‑ математическое ожидание производной Y₁(t) случайной функции Х(t) равно производной ее математического ожидания m_x(t):

М[Y₁(t)] = М[dХ(t)/dt] = dm_x(t)/dt = ; (П.2.5)

‑ корреляционная функция (t,t) производной Y₁(t) случайной функции Х(t) равна:

(t, t) = ²K_x(t, t)/t t. (П.2.6)