10. Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть X и Y — независимые случайные величины, причем X имеет нормированное нормальное распределение, т. е. X ~ N(0, 1), а Y распределена по закону хи-квадрат с n степенями свободы.

Определим функцию случайных аргументов X и Y вида T(n) = X / , значения которой соответствуют:

t(n) = х / . (П.1.18)

Случайная величина T(n) имеет следующую плотность распределения:

f_t (n) = . (П.1.19)

Здесь — гамма-функция Эйлера:

; ; при n = 1, 2, 3.

Распределение случайной величины T(n) носит название распределения Стьюдента (или t-распределения) с n степенями свободы.

Распределение Стьюдента имеет особенности:

‑ плотность вероятности распределения Стьюдента симметрична относительно начала координат. Это означает, например, что квантили t_p и t_1 – p порядков р и (1 – р) связаны соотношением вида: t_p = – t_{1 – p};

‑ при n > 1 математическое ожидание T(n) равно нулю;

‑ дисперсия T(n) равна n/(n – 2); n > 2.

В системах Mathcad предусмотрены встроенные функции для вычисления характеристик распределения Стьюдента (П.1.19):

dt (x, d) — для плотности распределения (П.1.19);

pt (x, d) — для функции распределения;

qt (р, d) — для квантили порядка р;

rt (m, d) — для получения (m  1)-вектора независимых случайных чисел с t-распределением (П.1.19).

В перечисленных функциях d ‑ число степеней свободы.

На рис. П.1.11 представлены кривые плотностей и функций распределения Стьюдента с числом степеней свободы d = 3 и d = 100, отражающие характер влияния этого параметра распределения на вид кривых.

Рис. П.1.11. Характеристики распределения Стьюдента

Из левого графика (см. рис. П.1.11) следует, что плотности распределения Стьюдента симметричны и унимодальны. По виду они близки к кривым плотности нормированного нормального распределения, однако плотности распределения Стьюдента убывают медленнее, чем плотности нормального распределения. С ростом числа степеней свободы максимум плотности t-распределения увеличивается.

В нижней части рис. П.1.11 с применением встроенной функции qt вычисляются квантили t-распределения с 6 степенями свободы порядков А = 0,908 и (1 – А), которые равны 1,5 и (– 1,5) соответственно.

Проверка полученных квантилей производится путем вычисления функции t-распределения с применением встроенной функции pt.

В последней строке (см. рис. П.1.11) с помощью встроенной функции rt сформирована выборка из случайной величины, имеющей t-распределение с 15 степенями свободы объемом 100. С помощью встроенных функций mean и var определены: выборочное среднее (0,111) и выборочная дисперсия (1,521). Теоретическое значение математического ожидания равно 0, а дисперсия для принятых данных должна составлять 1,5.

11. Распределение Фишера (f-распределение)

Пусть X₁ и Х₂ — независимые случайные величины, распределенные по закону хи-квадрат с n₁ и n₂ степенями свободы соответственно.

Определим следующее отношение:

W(n₁, n₂) = = . (П.1.20)

Случайная величина (П.1.20) W(n₁, n₂) со значениями w имеет следующую плотность распределения:

f_W (w, n₁, n₂) = , при w > 0; (П.1.21)

f_W (w, n₁, n₂) = 0, при w ≤ 0.

Здесь — гамма-функция Эйлера.

Распределение случайной величины W(n₁, n₂) носит название распределения Фишера с n₁ и n₂ степенями свободы.

Распределение Фишера имеет особенности:

‑ плотность вероятности распределения Фишера несимметрична относительно начала координат и унимодальна;

‑ при n₂ > 2 математическое ожидание равно n₂ /(n₂ – 2);

‑ при n₂ > 4 дисперсия W (n₁, n₂) равна

;

‑ дробь, обратная отношению (П.1.20), представляет случайную величину, имеющую распределение Фишера, причем числа степеней свободы меняются местами. Это свойство связывает квантили w_p(n₁, n₂) и w_{1 – p}(n₂, n₁) распределения Фишера порядков р и (1 – р) следующим соотношением:

1/ w_p(n₁, n₂) = w_{1 – p}(n₂, n₁). (П.1.22)

В Mathcad предусмотрены встроенные функции для вычисления характеристик распределения Фишера (П.1.21):

dF (x, n₁, n₂) — для плотности распределения (П.1.21);

pF (x, n₁, n₂) — для функции распределения;

qF (р, n₁, n₂) — для квантили порядка р;

rF (m, n₁, n₂) — для получения (m  1)-вектора независимых случайных чисел с F-распределением (П.1.21).

На рис. П.1.12 представлены кривые плотностей (верхний график) и функций (нижний график) распределения Фишера с числом степеней свободы n₁ = = 5, n₂ = 5; n₁ = 5, n₂ = 50; n₁ = 10, n₂ = 50, отражающие характер влияния этих параметров на форму кривых.

Справа от верхнего графика рис. П.1.12 с применением встроенной функции qF вычисляются квантили распределения Фишера с 5 и 50 степенями свободы порядков 0,9 и 0,1, иллюстрирующие свойство (П.1.22).

Проверка вычисленных квантилей производится путем вычисления функции распределения Фишера с применением встроенной функции pF.

Рис. П.1.12. Характеристики распределения Фишера