7. Распределение Вейбулла

Распределению Вейбулла также описывает свойства неотрицательных случайных величин. Оно применяется при анализе надежности технических систем. Плотность распределения Вейбулла имеет вид:

при ; f_X(x) = 0 при .

Здесь , ‑ масштабирующий множитель и параметр формы распределения Вейбулла соответственно.

Математическое ожидание величины X, распределенной по закону Вейбулла, найдем с помощью подстановки вида:

; ;

.

Дисперсия Х равна:

.

На рис. П.1.8 приведены плотности распределения Вейбулла для ряда значений параметров, полученные в среде Mathcad.

Для получения характеристик распределения Вейбулла при в системах Mathcad предусмотрены следующие встроенные функции:

dweibull (х, α) — для плотности распределения;

pweibull (х, α) — для функции распределения;

qweibull (р, α) — для квантили по заданной вероятности ;

rweibull (n, α) — для получения (n × 1)-вектора независимых случайных чисел с распределением Вейбулла.

В нижней части рис. П.1.8 функция dweibull (х, α) использована для вычисления значения плотности при α = 3 и х = 1.

При α = 1 распределение Вейбулла трансформируется в экспоненциальное распределение; при α = 2 — в распределение Рэлея.

Рис. П.1.8. Плотности распределения Вейбулла

8. Распределение Рэлея

Распределение этого типа (рис. П.1.9) встречается в задачах анализа суммы ряда гармонических колебаний различной частоты, оценки разброса снарядов при стрельбе по круговым целям на плоскости.

Если отклонения X и Y от цели в каждом из двух взаимно перпендикулярных направлений независимы и распределены по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями , то расстояния от точек попадания до центра мишени будет распределены по закону Рэлея с плотностью вероятности (см. рис. П.1.9)

при ; при .

Сопоставляя эту плотность с плотностью распределения Вейбулла, можно заметить, что закон распределения Рэлея может быть получен из закона распределения Вейбулла при α = 2 и (см. рис. П.1.9).

Подставляя в ранее полученные формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Вейбулла параметры α = 2 и , после несложных преобразований получим математическое ожидания и дисперсию распределения Рэлея:

; .

Рис. П.1.9. Плотности распределения Рэлея

9. Распределение хи-квадрат

Пусть z₁, z₂, . . . , z_n — независимые случайные величины, каждая из которых распределена нормально с нулевым средним и единичной дисперсией.

Определим новую непрерывную случайную величину

Х(n) = (z₁)² + (z₂)² + . . . + (z_n)². (П.1.16)

Случайная величина Х(n) носит название величины хи-квадрат с n степенями свободы. Число степеней свободы n есть число независимых, или «свободных», значений квадратов величин, входящих в сумму (П.1.16).

На основании теории композиции законов распределений [3], можно показать, что случайная величина Х(n) имеет плотность распределения вида:

f_Х(x) = [ Г(n/2)] exp(–x/2) при x > 0; (П.1.17)

при x ≤ 0.

Распределение с плотностью (П.1.17) носит название распределения хи-квадрат с n степенями свободы.

В выражении (П.1.17) — гамма-функция Эйлера:

; ; при n = 1, 2, 3, …

Пользуясь приведенными выражениями, можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины с распределением хи-квадрат (П.1.17) равны:

М(Х(n)) = n; D(Х(n)) = 2n.

Практически важным служит следующее свойство распределения хи-квадрат: сумма независимых случайных величин Х_i, распределенных по закону хи-квадрат с числом степеней свободы n_i каждая, также имеет распределение хи-квадрат, число степеней свободы которого равно сумме n_i.

В системах Mathcad предусмотрены встроенные функции для вычисления характеристик распределением хи-квадрат (П.1.17):

dchisq (x, d) — для плотности распределения (П.1.17);

pchisq (x, d) — для функции распределения;

qchisq (р, d) — для квантили порядка р;

rchisq (m, d) — для получения (m ´ 1)-вектора независимых случайных чисел с распределением хи-квадрат (П.1.17).

В перечисленных встроенных функциях d — число степеней свободы.

На рис. П.1.10 представлены кривые плотностей и функций распределений хи-квадрат с числом степеней свободы d = 5 и d = 10, отражающие характер влияния этого параметра распределения на вид кривых.

Рис. П.1.10. Характеристики распределения хи-квадрат

Из левого графика (см. рис. П.1.10) следует, что плотности распределения хи-квадрат несимметричны и унимодальны. С ростом числа степеней свободы график плотности смещается вправо, что сопровождается снижением максимума.

В нижней части рис. П.1.10 с помощью встроенной функции rchisq сформирована выборка v (объемом 100) из случайной величины, имеющей распределение хи-квадрат с 15-ю степенями свободы. Определены выборочное среднее (15,114) и выборочная дисперсия (30,226), которые достаточно близки к теоретическим значениям математического ожидания (15) и дисперсии (30).