6. Гамма-распределение

Пусть ε₁, ε₂, ..., ε_n — независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром λ. На основании теории композиции законов распределений [3], можно показать, что сумма таких случайных величин имеет плотность распределения вида:

при ; при . (П.1.11)

Распределение с плотностью (П.11.1) носит название двухпараметрического гамма-распределения. В выражении (П.1.11) параметры — масштабирующий множитель и параметр формы гамма-распределения соответственно; — гамма-функция Эйлера:

; ; при n = 1, 2, 3, …

Пользуясь приведенными выражениями, нетрудно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины с гамма-распределением (П.11.1) имеют вид: ; .

Так, для математического ожидания имеем:

.

Здесь использована подстановка вида , , для которой

.

Аналогично доказывается справедливость выражения для дисперсии

.

На рис. П.1.7, а приведены плотности гамма-распределения для ряда значений параметров α и λ, позволяющих оценить влияние этих параметров на характер плотности распределения (П.6.1). Данные получены в среде Mathcad.

При λ = 1 получаем однопараметрическое гамма-распределение, плотность которого, в силу (П.1.11), имеет вид:

при ; при . (П.1.12)

В системах Mathcad предусмотрены встроенные функции для вычисления характеристик однопараметрического гамма-распределения:

dgamma (z, ) — для плотности распределения (П.1.12);

pgamma (z, ) — для функции распределения;

qgamma (р, ) — для квантили порядка р;

rgamma (n, ) — для получения (n  1)-вектора независимых случайных чисел с гамма-распределением.

На рис. П.1.7 приведены графики плотностей гамма-распределения.

В нижней части рис. П.1.7, а функция dgamma (x, а) использована для вычисления значения плотности при и х = 5.

Рис. П.1.7, а. Плотности двухпараметрического гамма-распределения

Перечисленные встроенные функции однопараметрического распределения могут быть использованы для получения одноименных характеристик двухпараметрического распределения с плотностью (П.1.11). Действительно, на основании формул преобразования распределений [3], случайная величина Х с плотностью распределения (П.1.11) может быть получена из случайной величины Z с плотностью вероятностей (П.1.12) посредством функционального преобразования вида Х = Z / λ.

Поскольку Z = λX имеет плотность f₀(z) (П.1.12), имеем:

f_Х(х) = f₀(z)· = f₀[Ψ(x)]· ; х = z / λ; Ψ(x) = λх. (П.1.13)

Подставляя в f_Х(х) (П.1.13) выражение для f₀[λх] (П.1.12), получаем:

f_Х (х) = λ f₀(λ x) = , (П.1.14)

что полностью соответствует выражению (П.1.14) для плотности двухпараметрического гамма-распределения.

В соответствии с (П.1.11)-(П.1.14) квантили q₀(р, ) порядка р однопараметрического гамма-распределения связаны с квантилями q(р,  , λ) того же порядка двухпараметрического распределения соотношением

q(р, , λ) = q₀(р, ) / λ. (П.1.15)

На рис. П.1.7, б приведен фрагмент mcd-файла с результатами вычисления квантили двухпараметрического гамма-распределения при р = 0,9, = 2 и λ = 0,5. С этой целью вначале квантиль находится из решения нелинейного уравнения (результат, полученный вычислительным блоком с ключевыми словами given и find, отмечен заливкой), а затем используется выражение (П.1.15), в котором квантиль однопараметрического гамма-распределения q₀(р, ) вычислен с применением встроенной функции qgamma. Результаты этих двух способов, как указывалось выше, совпадают; искомое значение равно 7,779.

Рис. П.1.7, б. Вычисление квантили гамма-распределения (П.6.1)

Из гамма-распределения с плотностью (П.1.11) могут быть получены другие распределения: экспоненциальное распределение (α = 1); распределение Эрланга (при целых  = 1, 2, 3, ...); распределение хи-квадрат с т степенями свободы ( = m/2), где т ‑ нечетное целое, и  = 0,5.