5. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона рассматривается при анализе асимптотического поведения биномиального закона распределения при неограниченном возрастании числа испытаний n и уменьшении вероятности р появления успеха в каждом испытании так, что произведение nр = λ остается постоянной величиной. В этих условиях вероятность π_λ(k) появления ровно k = 0, 1, 2, … успехов вычисляется по формуле Пуассона:

π_λ(k) = (λ^kе^{– λ}) / k!. (П.1.9)

Дискретные с. в. (возможные значения k) относятся к бесконечной последовательности целых чисел, вероятности которых равны π_λ(k), что в совокупности образует распределение Пуассона. Аналогично (П.1.8) могут вычисляться и кумулятивные вероятности распределения Пуассона, т. е. вероятности того, что в испытаниях с параметрами nр = λ = const успех произойдет не более k раз:

P_λ(k) = . (П.1.10)

Таким образом, закон распределения Пуассона задается значениями дискретной с. в. Х и вероятностями этих значений (см. табл. П.1.2).

Таблица П.1.2

Закон распределения Пуассона

Х	0	1	2	…	k	…
πλ(х)	е– λ	λе– λ	λ2е– λ / 2	…	(λkе– λ) / k!	…

В силу исходных предположений, при увеличении числа испытаний и уменьшающейся вероятности появления успеха в каждом из них, о распределении Пуассона говорят как о распределении «редких событий».

Математическое ожидание и дисперсию распределения Пуассона:

М(Х) = D(Х) = λ.

В среде Mathcad закону распределения Пуассона соответствуют встроенные функции, в названии имеющие корневое слово pois:

dpois (x, ) — выводит значения вероятностей (П.1.9);

ppois (x, ) — выводит значения вероятностей (П.1.10);

qpois (A, ) — выводит значение квантили порядка A;

rpois (n, ) — выводит массив (вектор-столбец) из n значений независимых случайных чисел, распределенных по закону Пуассона с параметром .

На рис. П.1.6 приведены значения вероятностей (П.1.9) и (П.1.10) распределения Пуассона для λ = 10 (левая часть графика) и λ = 25 (правая часть), полученные в среде Mathcad с использованием двух первых встроенных функций из приведенного выше списка. Значения вероятностей (П.1.9) увеличены вдвое в целях наглядности.

При увеличении значения вероятности р успеха математическое ожидание λ = np увеличивается, центр распределения Пуассона (см. рис. П.1.6) смещается вправо. Это сопровождается увеличением дисперсии и соответствующим «растеканием» зависимости вероятностей (П.1.9) от числа успехов х. Заметна близость форм полученных кривых к соответствующим кривым нормального распределения.

Сплошными кривыми представлены вероятности, полученные по формуле Бернулли (П.1.7). Из результатов следует, что отличие закона Пуассона, который служит асимптотическим приближением для (П.1.7), от биномиального закона растет с увеличением значений вероятности успеха р.

С распределением Пуассона связано понятие так называемого простейшего потока, которое широко используется при вероятностном анализе систем массового обслуживания, изучении законов распределений вызовов абонентов на телефонных станциях, обращений к справочным службам, поступления заявок на железнодорожные билеты и прочее.

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, распределенных во времени, поступающих последовательно в случайные моменты времени. Кроме приведенных примеров, потоки событий могут быть образованы последовательным подключением потребителей к энергосети, последовательностью отказов элементов радиосхем, последовательностью поступления заявок на обслуживание в и т. д. Понятие потока событий близко к понятию случайной последовательности — дискретному аналогу случайного процесса.

Потоки событий обладают рядом свойств, среди которых выделим здесь свойства однородности, отсутствия последействия и ординарности.

Сущность однородности потока событий заключается в том, что вероятность появления k событий в течение произвольного промежутка времени t зависит только от k и t и не зависит от момента начала отсчета этого промежутка времени. Другими словами, указанная вероятность Р_t (k) не зависит от места расположения промежутка t на оси времени.

Отсутствие последействия означает, что вероятность Р_t (k) появления k событий в течение произвольного промежутка времени t не зависит от того, появлялись или нет события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка времени. Это означает, что числа появлений событий на непересекающихся промежутках времени представляют независимые события.

Ординарность потока заключается в том, что вероятность появления двух и более событий на малом промежутке времени t пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Совместное появление двух или более событий — практически невозможное событие. Поток событий, который обладает свойствами однородности, отсутствия последействия и ординарности, называют простейшим (пуассоновским).

Рис. П.1.6. Характеристики распределения Пуассона

Вероятностные свойства простейшего потока хорошо представляет формула Пуассона (П.1.9) вида:

Р_t (k) = (λt)^k / k!,

которая, в данном случае, представляет вероятность появления k событий на промежутке времени t. В этой формуле λ отражает среднее число появления событий в единицу времени; λt — среднее число событий на промежутке t.

Приведенная формула адекватно передает все свойства простейшего потока. Действительно, значения Р_t(k) не зависят от момента начала отсчета промежутка времени t и места его расположения на оси времени. Формула не использует данные о предыстории потока, о предшествующих событиях.

Таким образом, формулу Пуассона можно считать математической моделью вероятностных свойств простейшего потока.