3. Показательное распределение

Во многих теоретических и практических вероятностных задачах, связанных, например, с анализом надежности технических систем, исследовании случайных промежутков времени между редкими событиями и др., используется показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Показательный закон распределения непрерывной случайной величины описывается плотностью вида:

f(x) = (П.1.5)

Здесь  > 0 — постоянный коэффициент, определяющий как начальное значение плотности вероятности f(0) = , так и темп изменения f(x) в зоне определения аргумента.

Функция распределения показательного закона:

_(П.1.6)

Вероятность попадания экспоненциально распределенной с. в. Х в интервал (, ) равна:

Р(≤ Х ≤ ) = F(β) – F(α) = e^{– } – e^{– }.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной с. в. с плотностью (П.1.5) равны:

1/; D(Х) = 1/².

В среде Mathcad показательному закону распределения соответствуют встроенные функции, в названии имеющие корневое слово ехр и начальные символы d, p, q, r:

dехр (x, ) — выводит значения плотности f(x) (П.1.5);

pехр (x, ) — выводит значения функции F(x) (П.1.6);

qехр (A, ) — выводит значение квантили порядка A;

rехр (n, ) — выводит массив (вектор-столбец) из n значений экспоненциально распределенных независимых случайных чисел с параметром .

На рис. П.1.4 приведены плотности и функции показательного распределения для  = 1 (плотность f3(x)) и  = 0.5 (f4(x) и функция распределения F(x)).

Плотность (П.1.5) имеет характер ниспадающей экспоненты, асимптотически приближающейся к оси x. Начальное значение f(x) равно  (см. рис. П.1.4). В практических приложениях можно считать, что ехр(– x) «достигает» установившегося значения (нуля) при x ≈ 5/.

Рис. П.1.4. Вид плотностей и функции показательного распределения

Функция F(x) показательного распределения практически достигает установившегося значения (единицы) также при x ≈ 5/; F(5/) = 0,993.

4. Биномиальное распределение

Биномиальный закон распределения дискретных с. в. относится к схемам испытаний Бернулли, в которых каждое испытание имеет два независимых исхода (успех А или неуспех). В качестве дискретной с. в. Х при этом выступает число k (k = 0, 1, 2, …, n) появлений событий А в серии n испытаний. Вероятность появления k раз события А в n испытаниях определяется формулой Бернулли:

Р_n (k) = p^kq^{n – k}, (П.1.7)

где p и q = (1 – p) — вероятности успеха А и не появления этого события соответственно. Таким образом, биномиальный закон распределения задается совокупностью значений дискретной с. в. Х и вероятностями этих значений, приведенной в табл. П.1.1.

Таблица П.1.1

Биномиальный закон распределения

Х	0	1	2	…	k	…	n
Рn (х)	p0 qn	pqn – 1	an – 1b	…	pkqn – k	…	pnq0

Название «биномиальный закон распределения» объясняется связью суммы вероятностей Р_n (k) (П.1.7) при k = 0 … n с биномом Ньютона. В сумме эти вероятности равны единице.

Вероятность того, что событие А произойдет не более, чем k раз в n испытаниях, т. е. появится или 0, или 1, или 2, или 3, … или k раз будет равна сумме первых k членов ряда биномиального распределения, т. е.

P _n(k) = Р_n(0) + Р_n(1) + Р_n(2) + … + Р_n(k) = . (П.1.8)

Эта вероятность называется кумулятивной (накопленной).

Математическое ожидание и дисперсии числа k появлений успехов в серии n испытаний:

М(Х) = М(k) = np; D(Х) = D(k) = npq.

В среде Mathcad имеются следующие встроенные функции, относящиеся к биномиальному закону, которые выводят:

dbinom (k, n, p) — значения вероятностей (П.1.7);

pbinom (k, n, p) — значения кумулятивных вероятностей (П.1.8);

qbinom (A, n, p) — значение квантили порядка A;

rbinom (m, n, p) — массив (вектор-столбец) из m значений независимых случайных чисел, распределенных по биномиальному закону с параметрами n и p.

На рис. П.1.5 приведены кривые вероятностей (П.1.7) и соответствующих кумулятивных вероятностей (П.1.8), полученные в среде Mathcad для двух совокупностей параметров (n = 15, p = 0,2; n = 100, p = 0,2) биномиального распределения, для которых значения математических ожиданий равны 3 и 20 соответственно. Вероятности (П.1.7) на рис. П.1.5 увеличены вдвое для возможности представления всех результатов на одном графике.

Рис. П.1.5. Характеристики биномиального закона распределения

Из результатов, представленных на рис. П.1.5, следует, что с ростом числа испытаний n биномиальное распределение по форме приближается к нормальному распределению. Для иллюстрации этого факта на графике (см. рис. П.1.5) приведена плотность нормального распределения f(k) c параметрами, равными числовым характеристикам второго варианта биномиального распределения (математическое ожидание равно 20, дисперсия равна 16). Эта плотность распределения (отмечена «крестиками» на рис. П.1.5) практически не отличается от кривой, соответствующей вероятностям (П.1.7) для значений n = 100, p = 0,2. Отмеченная близость биномиального распределения при больших значениях n к соответствующему нормальному закону распределения служит косвенным основанием применения асимптотических приближений, в частности, локальной теоремы Муавра‑Лапласа и интегральной теоремы Лапласа [3]