8.6. Обработка данных статистического моделирования

В зависимости от типа модели, которая используется в процессе компьютерных экспериментов, выходные переменные, подлежащие анализу, могут быть классифицированы как скалярные или векторные дискретные случайные величины и процессы. Указанные четыре варианта (см. табл. 8.1) определяют особенности обработки получаемых данных.

В процессе такой обработки могут быть получены эмпирические (выборочные) распределения, выборочные значения числовых характеристик параметров этих распределений (характеристики положения и рассеивания, корреляционные свойства и проч.).

Таблица 8.1

Типы выходных переменных при моделировании

Модель	Анализируемая переменная	Тип выходной переменной
Статическая	скаляр	случайная величина (с. в.)
	вектор	векторная с. в.
Динамическая	скаляр	случайный процесс (сл. пр.)
	вектор	векторный сл. пр.

По результатам стохастического моделирования может быть получен богатейший набор данных, позволяющих успешно решить поставленную задачу принятия решений. Оценим возможности получения этих данных и перспективы их использования.

Статическая модель со скалярным выходом. Статические модели осуществляют преобразования входных факторов путем линейного или нелинейного масштабирования. Поэтому, при стохастическом моделировании (n-кратном прогоне модели) для скалярного выхода получаются выборочные данные, которые удобно представлять в виде (n  1)-вектора Х. Теоретически вектор Х является случайным вектором по серии компьютерных экспериментов; каждая серия состоит из n локальных экспериментов. В данном материале будем считать, что компьютерный эксперимент осуществляется в виде только одной серии (n экспериментов). Это позволяет считать элементы вектора Х значениями дискретной случайной величины Х. Палитра числовых характеристик, которые могут быть получены по выборке Х объема n, весьма широка. Перечислим только основные из этих характеристик:

‑ точечные оценки числовых характеристик (выборочное среднее Х_В, выборочная дисперсия = D_В, выборочный коэффициент вариации k_v = _В / S_В, выборочные вероятности p_В принадлежности Х заданным диапазонам и проч.);

‑ интервальные оценки перечисленных выше числовых характеристик при заданных доверительных вероятностях;

‑ выборочные квантили заданных порядков;

‑ гистограммы, полигоны абсолютных и относительных частот и проч.

Динамическая модель со скалярным выходом. Динамическая модель предполагает изменение во времени выходных переменных. Этот эффект может быть вызвано либо наличием в модели возмущений в виде случайных процессов, либо наличием в динамической модели возмущений в виде случайных величин. Выборочные данные, получаемые по результатам n компьютерных экспериментов для данного случая, представляют собой совокупность n реализаций случайного процесса. Эти данные удобно представлять в виде (n  1)-вектор-функции Х(t), элементами которой служат реализации х_i(t). Типовой вид реализаций нестационарного случайного процесса изображен на рис. 8.10.

Рис. 8.10. Реализации нестационарного случайного процесса

Числовые характеристики случайных процессов определяют по его сечениям, т. е. значениям Х(t) при фиксированных моментах времени. Поскольку сечением Х(t = t*) случайного процесса является случайная величина, то, осуществляя определение числовых характеристик для последовательности сечений, получают выборочные характеристики случайных процессов в функции времени. При этом могут быть получены все числовые характеристики, перечисленные в предыдущем пункте, например, Х_В(t), p_В(t) и проч. Дополнительно может быть проанализирована изменчивость гистограмм во времени (для различных сечений), сделаны выводы о временной изменчивости закона распределения исследуемой случайной величины. Кроме того, для полученных данных могут быть решены задачи линейной или нелинейной регрессии, на основе которых может быть построен прогноз развития процессов на предстоящие периоды времени.

Статическая модель с векторным выходом. Этот вариант предполагает, что в модели предусмотрены случайные возмущения типа случайных величин (векторных или скалярных). Наблюдению подлежат m выходных переменных, состояние которых фиксируется в каждом из экспериментов. Поэтому, при стохастическом моделировании (n-кратном прогоне модели) для векторного выхода получается массив выборочных данных, который удобно представлять в виде (m  n)-матрицы А. Столбцы этой матрицы объединяют результаты каждого эксперимента из общей совокупности n экспериментов. Таким образом, столбцы матрицы А — значения дискретного случайного (m  1)-вектора выходных переменных Х. В строках матрицы А размещаются значения выборочных данных для каждой из наблюдаемых переменных. Палитра числовых характеристик, которые могут быть получены на основе обработки данных матрицы выборке А, весьма широка. Перечислим только основные из этих характеристик:

‑ вектор выборочных средних Х_В,

‑ выборочная ковариационная матрица Р_В,

‑ выборочные дисперсии элементов выходного вектора,

‑ выборочные корреляционные моменты и коэффициенты парной корреляции элементов выходного вектора,

‑ коэффициенты вариации для каждой из наблюдаемых величин,

‑ выборочные вероятности принадлежности элементов выходного вектора заданным диапазонам,

‑ выборочная вероятность попадания вектора выходных переменных в заданную область (для двумерного вектора — в плоскую фигуру; для трехмерного и более — в заданную пространственную фигуру),

‑ интервальные оценки перечисленных выше числовых характеристик при заданных доверительных вероятностях и проч.

На рис. 8.11 и рис. 8.12 приведены фрагменты файла, в которых обработке подвергаются результаты 16 экспериментов со статической моделью, вектор выходных переменных которой содержал 3 составляющих.

На диагонали выборочной ковариационной матрицы Р_В расположены выборочные дисперсии элементов выходного вектора; недиагональные элементы Р_В — корреляционные моменты, которые характеризуют степень взаимообусловленности различных пар выходных переменных. Например, выборочный коэффициент корреляции r₁₃ (характеризует степень вероятностной связи первого и третьего элементов выходного вектора) по данным рис. 8.11 будет равен:

r₁₃ = = – 0.886.

На рис. 8.13 приведена визуализация определения выборочной вероятности попадания двумерного выходного вектора в эллиптическую область.

Динамическая модель с векторным выходом. Этот вариант имитационной модели предполагает сложную обработку данных, полученных в результате статистического моделирования. При наличии случайных возмущений (скалярных и векторных случайных величин и процессов) в моделях такого типа на выходе имеем векторный случайный процесс со всеми последствиями для обработки и возможностями для анализа.

Рис. 8.11. Матрица А выборочных данных

Рис. 8.12. Вычисления вектора выборочных средних Х_В (1) и матрицы Р_В (2)

Не рассматривая детали, отметим здесь, что характеристики векторных случайных процессов в общем случае, как и скалярных процессов, получают в результате анализа сечений. Процедура анализа сечений векторного случайного процесса аналогична процедуре, описанной выше применительно к статической модели с векторным выходом.

Рис. 8.13. Типовой вид двумерной плотности распределения и

эллипса-цели

Получение выборочных числовых характеристик для последовательности сечений векторного случайного процесса позволяет оценить динамику этих характеристик и, также как и для скалярных случайных процессов, использовать выявленную изменчивость характеристик для прогнозирования их значений в последующие периоды.

Приведенные аргументы свидетельствуют о богатейших возможностях для практики, которые имеют стохастические режимы имитационных моделей. Наиболее значимыми из них служат возможности получения оценок в результате обобщения множества компьютерных экспериментов, а также возможности анализа и прогнозирования динамики изменения выходных параметров.

Рассмотренными постановками и критериями, представленными выше, конечно, не исчерпывается перечень возможных подходов к анализу результатов статистического моделирования. Так, риски можно оценивать не только с позиций вероятностей позиционирования исследуемых переменных в критических областях, но и с точки зрения вероятностей достижения планируемых экономических показателей. Одна из таких постановок реализована в стохастическом режиме разработанной имитационной модели (ИМ). Она приводится в следующем подразделе, посвященном описанию особенностей стохастического режима в разработанной ИМ.