7.3. Формирование возмущений в виде случайных величин с заданными выборочными характеристиками

Во многих задачах статистического моделирования систем (технических, экономических и др.) требуется учитывать возмущающие факторы, которые соответствуют скалярным случайным величинам с заданными числовыми характеристиками. Получим основные соотношения, позволяющие решить задачу имитации подобных возмущений. Эти соотношения рассмотрим вначале для общей задачи формирования с. в. с заданными числовыми характеристиками, а затем — для формирования выборочных данных с заданными выборочными числовыми характеристиками и проиллюстрируем их на одном из типовых примеров имитации с. в. при статистическом моделировании СС.

Пусть Х ‑ с. в. с известными математическим ожиданием М(Х) = m_X и дисперсией D_Х = .

Требуется преобразовать исходную случайную величину Х в с. в. Z с заданными математическим ожиданием М(Z) = m_Z и дисперсией D_Z = .

При решении подобной простой задачи потребуется применение операции нормировки, т. е. промежуточного приведения исходной с. в. Х к варианту Х^* с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Нетрудно видеть, что нормированная с.в. Х^* = (Х – m_X)/_Х будет обладать указанными свойствами. Тогда искомая с. в. Z определится преобразованием нормированной с. в. Х^* вида:

Z = _Z ∙Х^* + m_Z. (7.11)

Аналогичные по форме преобразования можно произвести для получения выборочных данных с заданными выборочными числовыми характеристиками. Пусть Х ‑ произвольная выборка объема n, имеющая выборочное среднее и выборочную дисперсию . Пусть также при статистическом моделировании требуется возмущение в виде с. в. Z, выборочные значения которой Z объема n имеют заданные и _.

На основании преобразований, выполненных выше, можно записать результирующее выражение для искомых выборочных данных. Так, для j-ого элемента Z_j, j = вектора Z искомых выборочных данных запишем:

Z_j = _zВ ∙ Z_j^* + m_Z. ; Z_j^* = Х_j – _. (7.12)

Здесь Z_j^* ‑ элемент вектора нормированных исходных выборочных данных.

На рис. 7.6 представлен пример формирования выборки с заданными выборочным средним (– 2) и выборочной СКО (1.5) из исходной выборки Х с n = 15. Вычисленные для исходной выборки  = 4,809 и _zВ = 3,409 используются для получения вектора нормированных данных (на рис. 7.6 обозначен вектором z0).

Рис. 7.6. Получение данных с заданными выборочными характеристиками

Результирующее выражение вида (7.12) на рис. 7.6 выделено рамкой и фоновой заливкой; ниже этого фрагмента проводится проверка выборочного среднего и выборочной СКО полученных выборочных данных. Проверка свидетельствует о соответствии этих данных исходным требованиям.

7.4. Формирование векторных случайных величин с заданными выборочными характеристиками

Пусть Х ‑ случайный вектор с элементами Х_j, j = , имеющий вектор математических ожиданий М(Х) = m_X и ковариационную матрицу

P_X = М[(Х – m_X)(Х – m_X)^T].

Требуется преобразовать исходный вектор в случайный (m  1)-вектор Z с заданными вектором математических ожиданий М(Z) = m_Z и ковариационной матрицей P_Z .

Введем в рассмотрение матрицу С_Х, удовлетворяющую соотношению:

С_Х (С_Х)^Т = P_X . (7.13)

Матрица С_Х носит название корня из матрицы. Вычисление корня из симметричной матрицы может быть выполнено различными алгоритмами. Наибольшее распространение получило преобразование Холецкого^* для положительно определенных матриц. В среде Mathcad имеется встроенная функция cholesky, выполняющая это преобразование. Эта функция используется ниже в иллюстративном примере. Альтернативный алгоритм вычисления корня из матрицы приведен в конце этого раздела. Он может быть использован для произвольных симметричных матриц.

Предполагая неособенность матрицы С_Х, проведем нормировку исходного вектора Х с использованием преобразования, структура которого аналогична процедуре скалярной нормировки:

Х⁺ = (С_Х)^–1(Х – m_X) = (С_Х)^–1Х⁰, (7.14)

где Х⁰ = (Х – m_X) — центрированный случайный вектор.

Вектор Х⁺ имеет нулевое математическое ожидание, поэтому его ковариационная матрица равна

S⁺ = М[Х⁺ (Х⁺)^T] = (С_Х)^–1 P_X (С_Х)^–Т.

Нетрудно видеть, что матрица S⁺ — единичная матрица порядка m:

S⁺ = (С_Х)^–1 P_X (С_Х)^–Т = (С_Х)^Т (С_Х)^–Т = Е_m . (7.15)

Таким образом, нормировкой (7.14) получаем вектор Х⁺ с нулевым вектором математических ожиданий и единичной ковариационной матрицей.

На основании рассмотренных соотношений легко убедиться в том, что требуемый вектор Z с характеристиками m_Z и P_Z может быть получен с помощью выражения вида:

Z = m_Z + С_Z X⁺ , (7.16)

где С_Z ‑ корень из заданной ковариационной матрицы, С_Z (С_Z)^Т = P_Z .

Описанный подход может быть использован при формировании векторных выборочных данных с заданными выборочными характеристиками.

С этой целью перейдем в выражениях (7.14)-(7.16) от теоретических числовых характеристик к их выборочным аналогам.

Приведем основные соотношения для получения выборочных данных Z_В с заданными вектором выборочных средних и выборочной ковариационной матрицей P_ZВ, сопровождая выкладки краткими комментариями.

Пусть данные наблюдений объединены в (m  n)-матрицу Х_В, строками которой служат наблюденные значения элементов вектора Х. Тогда вектор выборочных средних и выборочная ковариационная матрица Р_ХВ найдутся как:

= ; Р_ХВ = . (7.17)

Здесь = — (m  n)-матрица центрированных данных наблюдений, i-ый столбец которой  = (  –  ), (i =  ).

Вычисляя матрицу С_ХВ ‑ корень выборочной ковариационной матрицы С_ХВ (С_ХВ)^Т = P_ХВ , определим (m  n)-матрицу нормированных выборочных данных с ковариационной матрицей , которая, аналогично матрице S⁺ из (7.15), является единичной:

= ; = = P_ХВ = Е_m . (7.18)

Таким образом, нормированные данные наблюдения имеют нулевой вектор выборочных средних и единичную выборочную ковариационную матрицу. Это позволяет, на основании выражения (7.16), получить выборочные данные Z_В с заданными свойствами. Для этого осуществим промежуточное преобразование

= С_ZВ ; С_ZВ (С_ZВ)^Т = P_ZВ

Из предыдущих выражений ясно, что вектор выборочных средних и выборочная ковариационная матрица, вычисленные с использованием выборочных данных , равны нулевому вектору и заданной матрице P_ZВ :

= = 0; = Р_ZВ.

Здесь ‑ i-ый столбец (m  n)-матрицы .

Для выполнения второго требования — обеспечения заданного вектора выборочных средних — необходимо добавить к каждому столбцу матрицы этот вектор. Таким образом, получаем требуемые выборочные данные в форме (m  n)-матрицы Z_В, каждый столбец которой формируется как:

= + ; = С_ZВ ; (i = ). (7.19)

Интерактивный ресурс, использующий эти преобразования, размещен автором на портале http://mas.exponenta.ru, раздел <<Математическая статистика>>.

Пример 7.3. Преобразовать выборочные данные для трехмерного вектора X, приведенные в виде (3  16)-матрицы А (см. рис. 7.7, а), в данные Z_В с вектором выборочных средних и выборочной ковариационной матрицей Р_ZВ, указанными на рис. 7.7, а.

Решение. Решение примера представлено на рис. 7.7 в виде отдельных фрагментов единого mcd-файла. На рис. 7.7, а приведены исходные данные примера. Полученные собственные числа свидетельствуют о положительной определенности заданной матрицы Р_ZВ.

Рис. 7.7, а. Исходные данные примера 7.3

На рис. 7.7, б, в, г приведены результаты этапных вычислений.

Последовательность этапов отмечена номерами.

Этапы 1 и 2. Вычисление вектора выборочных средних Х, центрирование и вычисление выборочной ковариационной матрицы Р_ХВ по формулам (7.17).

Рис. 7.7, б. Первые два этапа решения

Этапы 3 и 4. Вычисление корня из матрицы Р_ХВ и нормировка исходных данных с проверками на основе выражений (7.18).

Этап 5. Вычисление корня из заданной ковариационной матрицы Р_ZВ.

Этап 6. Формирование требуемых выборочных данных с использованием выражения (7.19).

Этап 7. Проверка полученных данных на соответствие требованиям.

Проверка полученных выборочных данных подтверждает выполнение требований. Ковариационные матрицы примера были положительно определенными, поэтому вычисление С_X и С_Z осуществлялось преобразованием Холецкого.

Рис. 7.7, в. Завершающие этапы решения

Отметим здесь, что описанные преобразования неявно предполагают, что ковариационные матрицы исходных данных P_X и P_XВ должны быть положительно определены (требование нормировки). Поэтому для вычисления корня из исходных матриц можно использовать как преобразование Холецкого, так и альтернативный алгоритм. В то же время результирующие соотношения не требуют обращений матриц С. Задаваемые ковариационные матрицы P_Z и P_ZВ в общем случае могут быть неотрицательно определенными (по определению). Для таких матриц преобразование Холецкого неприемлемо. Поэтому в качестве общего алгоритма вычисления матриц С_Z и С_ZВ в процессе формирования выборочных данных с заданными свойствами целесообразно использовать альтернативный алгоритм.

Рис. 7.7, г. Промежуточные и результирующие (рамка) данные

Альтернативный алгоритм формирует нижнюю треугольную матрицу С, удовлетворяющую равенству СС^Т = Р, путем последовательного вычисления ее столбцов С_j, j = :

С_j =

D_{j + 1} = D_j – [ ]; D₁ = P.

Здесь q_j ‑ вектор, j-ый элемент которого равен единице, остальные — нулю.

Простой пример получения С с помощью альтернативного алгоритма для неотрицательно определенной матрицы приведен ниже:

Р = ; С = .

Этот алгоритм реализован в интерактивном ресурсе автора, размещенном на портале http://mas.exponenta.ru, раздел <<Математика/Линейная алгебра>>.