7. Вычислительный эксперимент с имитационной моделью

Процесс моделирования СС предполагает проведение серий экспериментов над ИМ, целью которых служит формирование массивов результирующих данных и последующая их обработка. Эти массивы данных в математической статистике носят название выборок. Особенности выборок, их обработка и формирование компьютерных экспериментов, направленных на исследование свойств СС рассматриваются в материалах этого раздела.

7.1. Выборки и их свойства

Компьютерные эксперименты с точки зрения теории вероятностей и математической статистики — это независимые испытания, осуществляемые в одинаковых условиях. Результатом этих испытаний служат элементы множества признаков исследуемых случайных величин и процессов — мгновенные значения напряжения в силовой сети, время ожидания в очереди, длительность сетевых контактов, показатели эффективности инвестиций и прочее. Эти признаки являются функциями множества непредсказуемых факторов, и их фиксация позволяет подучить, например, множество значений анализируемой с. в.

Как отмечалось ранее, теоретическое множество значений с. в. может быть конечным или бесконечным. В математической статистике свойства с. в. Х изучаются на основе некоторого ограниченного множества данных, полученных в результате экспериментов. Это ограниченное множество носит название выборки, а ее значения составляют так называемую выборочную совокупность. Любая функция выборки носит название статистики.

При формализации задач математической статистики выборку с элементами х₁ , х₂ , …, х_n удобно представлять в виде вектора-столбца Х с элементами х_i, ( ) или — в виде точки n-мерного пространства. Число n элементов вектора Х принято называть объемом выборки.

С точки зрения объема различаются малые и большие выборки. В общем случае такое деление весьма условно, поскольку зависит от специфических особенностей исследуемой с. в. Однако в математической статистике используются различные подходы к анализу малых и больших выборок. Так, для больших выборок могут применяться асимптотические методы анализа, основанные на центральной предельной теореме. Примерной границей для отнесения выборки к тому или иному типу служит n = 30. Принято считать, что выборки с n > 30 могут быть отнесены к классу больших выборок.

Формирование вектора Х выборочных данных неоднозначно. Выборка может осуществляться несколькими путями, среди которых:

‑ простая (бесповторная) выборка, когда элементы выборочной совокупности формируются случайно, без возвращения их в исходное множество;

‑ повторная выборка, когда элементы множества случайно отбираются, изучаются, а затем возвращаются в исходную совокупность. При этом, если один и тот же элемент отбирается дважды, он учитывается в векторе Х один раз, а его частота (число его появлений) запоминается.

При статистическом моделировании результаты компьютерных экспериментов формируются путем фиксации значений исследуемых величин в каждом эксперименте, т. е. используется повторная выборка.

При анализе результатов компьютерных экспериментов необходимо учитывать следующие теоретические свойства выборочных данных:

1. Повторяя серии экспериментов по формированию n элементов выборочной совокупности, мы будем каждый раз получать новый вектор Х выборочных данных с новыми значениями элементов. В результате k таких повторений будет сформирована (n  k)-матрица Q. Это означает, что совокупности указанных повторений вектор Х может быть классифицирован как случайный вектор (в. с. в.), элементы которого Х_i ( ) ‑ случайные величины.

2. Учитывая независимость отдельных экспериментов (наблюдений, (измерений), составляющие вектор Х случайные величины Х_i следует рассматривать как взаимно независимые.

3. Случайные величины Х_i в составе вектора Х одинаково распределены, поскольку выбор элементов Х осуществляется из множества значений изучаемой случайной величины Х. Закон распределения Х_i ‑ такой же, как у случайной величины Х.

Таким образом, вектор Х выборочных данных рассматривается в качестве случайного вектора, элементы которого — независимые одинаково распределенные случайные величины. Отметим здесь, что практика статистического моделирования часто связана с процессом формирования конкретного вектора-столбца в составе матрицы Q, т. е. компьютерные эксперименты могут не предполагать повторения процедур формирования n элементов выборочной совокупности.

Важным принципом получения выборок является обеспечение проведение экспериментов в одинаковых условиях, что гарантирует объективность получения статистических данных и способствует выявлению свойств СС. В этой связи вводится обобщающее понятие представительности (репрезентативности) выборки, которое служит необходимым условием исключения ошибочных суждений в процессе статистического анализа результатов экспериментов.