6.4. Имитация вероятностных переходов

При статистическом имитационном моделировании могут иметь место случайные возмущения в виде вероятностных переходов, сопровождающих жизненные циклы объектов (агентов), участвующих в моделях. Такие переходы могут возникать при нарушениях режимов работы оборудования, изменении их технических характеристик или состояния, в результате случайного поведения биологических объектов, при моделировании жизненного цикла популяций, процессов распространение инфекции в массе людей и проч. Так, в последнем случае конкретный индивид может заразиться от бациллоносителя, а может и остаться здоровым, что в общей массе учтенных в ИМ людей можно отразить вероятностью р перехода из здорового состояния в состояние заболевшего человека.

Поставим в соответствие подобному возмущению с. в. Х. Как любая с. в., Х должна быть охарактеризована функцией F(x) или плотностью f(x) распределения. В процессе статистического моделирования для возмущений типа вероятностных переходов значение вероятности р должно быть задано. Эта вероятность определяет пороговое значение х_р ,которое позволит разделить множество возможных значений с. в. Х на две независимые группы, относящиеся к первому и второму состояниям агента. Для имитации таких возмущений используют датчики случайных чисел в качестве генераторов возможных значений с. в. Х.

При заданной вероятности р первого из двух возможных состояний агента, принадлежность к этому состоянию определяется выражением, которое следует из определения (5.2) функции распределения

р = F(x_р) = Р(Х < x_р), (6.37)

где в качестве порогового значения x_р выступает квантиль (5.20) порядка р.

Из (6.37) следует, что принадлежность к первому состоянию с вероятностью будет определено в случае, если в i-ом компьютерном эксперименте значение имитируемого признака х_i будет определяться неравенством х_i < x_р. Неравенство х_i ≥ x_р будет означать принадлежность ко второму состоянию с вероятностью (1 – р).

Квантили стандартных распределений можно вычислить в программных системах компьютерной математики (СКМ), которые имеют соответствующий набор встроенных функций.

Для вычисления квантилей автором создан также интерактивный ресурс [7].

Для нестандартных распределений квантили могут быть определены путем решения нелинейного уравнения, следующего из определения квантилей (5.20).

В качестве примера на рис. 6.6 приведены значения квантилей (Mathcad) порядка 0.8 для равномерного распределения на интервалах. [0 ,1]; [-1, 1]; [0, 2] , а также для нормально распределенной с. в. с теми же математическими ожиданиями и СКО, что и в первых трех вариантах.

Рис. 6.6. Примеры определения квантилей

Следует отметить, что качество имитаторов вероятностных переходов существенно зависит от числа n компьютерных экспериментов, т. е. от объема выборочных данных. При малых объемах (n < 20) число попаданий в зону состояния, соответствующего заданной вероятности р, будет значительно отличаться от теоретического числа. На рис. 6.7 приведены два примера с подсчетом чисел попадания в требуемую зону для вариантов = 10 и = 1000 при р = 0,8. В качестве генератора был выбран датчик случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0, 1]. Число попаданий (обозначено в mcd-файле через d) для каждого варианта выделено рамкой и фоновой заливкой. Результаты иллюстрируют влияние числа экспериментов на точность процедуры смены состояний.

Рис. 6.7. Влияние числа экспериментов на имитацию переходов